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Initiation au cours sur les barycentres niveau Terminale
Bonjour ou plutot bonsoir à tous!
Voila j'ai un devoir qui doit nous initier au barycentre!
Voila mon problême
Soit (P) un plan et A,B,C trois points non alignés dans ce plan.
a) Etablir que (P) est l'ensemble des barycentres des points A,B,C . FAIT
b) Démontrer que M est intérieur au triangle ABC (frontières comprises) si et seulement si M=bar{A,
),(B,
),(C,
)}, où ,, sont du même signe.
Merci d'avance ^^!
une idée qui aboutira peut-être...
dans le repère (A, vec(AB), vec(AC)), dire que M est intérieur au triangle ABC signifie que les coordonnées x et y de M sont telles que :
x est compris entre 0 et 1
y est compris entre 0 et l'ordonnée du point de la droite (BC) d'absisse x (celle de M)
tu cherches l'équation de (BC)...
et et exprime vec(AM) en fonction de vec(AB) et vec(AC) pour avoir les coordonnées de M barycentre de ...
Je ne peux pas encore utilisé les coordonées d'un barycentre le cours n'a pas encore été vu! Mais l'approche a l'air original! Merci de s'y intéresser!
Honte sur moi 
donc je vais me lançer dans cette recherche!
Mais je ne comprend pas le y est compris entre .....
On ne peut pas y dire entre 0 et 1 car sinon le point M pourrait se situer dans le parallélogramme mais alors l'ordonnée de y dépend de x non?
pour y, pense que M doit être entre l'axe des abscisses et la droite (BC) dont une équation est facile à déterminer (c'est y=-x+1)
donc le "y de M" doit être compris entre 0 et "-x de M +1"...
pour les coordonnées : vec(AG) = b/(a+b+c)vec(AB) +c/(a+b+c).... sauf erreur de ma part, donc vérifie...
bon travail... et que la honte te quitte au plus vite, ce n'est pas un sentiment grandissant à long terme...
moi j'arrive à
b a obligatoirement le même signe que a+b+c
idem pour a et c...
donc ...
donc...
ça le fait bien à mon avis!
Mouah ca me parait bien compliqué je reste déja bloqué dans l'équation de (BC).
Il faut que je l'exprime en fonction de AB et AC c'est ça?
Donc ca serait -AB+AC ou je remplace? Je vois pas trop!
On pose X=AB et Y=AC?
Quand c'est pas un repère orthonormal direct ca me perturbe :s!
tu as vu l'expression de vec(AG)?...
ici, le point G s'appelle M...
et donc les coordonnées de ton point M dans le repère (A, vec(AB),vec(AC) , tu les prends directement dans la formule de 1ère que je t'ai rappelée..
x =..../.........
y=..../.........
Non j'y suis je viens de comprendre l'éqation y=-x +1 désolé pour ce flot de pensée !
Cette expression vec(AG) = b/(a+b+c)vec(AB) +c/(a+b+c).... est si G barycentre de (A,a),(B,b),(C,c) c'est ca?
Donc Xm= b/a+b+c et Ym=c/a+b+c.
On a bien Xm compris entre 0 et 1 si a, b, et c même signe, mais l'expression de Ym on peut en conclure quoi?
Ym doit être inférieur à "Y"
"Y" étant donné par l'équation de la droite (BC)
d'autre part, attention
Xm est compris entre 0 et 1 donc b/(a+b+c) est positif et donc le numérateur et le dénominateur sont de même signe...
Si je suis bien tout d'abord on exprime l'équation de (BM) dans le repère (A,AB,AC).
Puis on pose G barycentre de (A,a),(B,b),(C,c); on en arrive alors aux équations:
Xm=b/a+b+c et Ym=c/a+b+c
Et si M appartient au triangle alors b/a+b+c de même signe et b
a+b+c puis que YmY où Y est l'équation de (BC)
Donc on a bien prouvé les deux implications ( le si et seulement si)!
C'est cela le raisonnement?
Et il faut encore montrer alors que b/a+b+c -x+1?
" b/a+b+c -x+1" oui mais pour quel x?
" b/a+b+c de même signe et b<a+b+c " pas d'accord, ça sort d'où ce truc?
donne moi le début
encore un truc, ici G s'appelle M
" b/a+b+c -x+1" pour x compris entre 0 et 1 !
Puis b<a+b+c pour que le quotient soit compris entre 0 et 1 egalement non?
Je voulais dire b/a+b+ac comrpis entre 0 et 1 donc a,b c de même signe et ba+b+c
" b/a+b+c -x+1" pour x compris entre 0 et 1 !
jusque là ok après non!
Puis b<a+b+c(NON)pour que le quotient soit compris entre 0 et 1 egalement non?NON
le quotient est POSITIF donc d'après la REGLE DES SIGNES le numérateurs et le dénominateurs sont tous les deux de même signe.. (+par+ ou -par-)
Oui tout a fait d'accord pour le signe mais ce quotient représente l'abscisse de M et on a dit que si M appartient au triangle ABC alors son abscisse est compris entre 0 et 1 alors je ne comprend pas pourquoi c faux!
Le vecteur AB est le vecteur unitaire non?
tu ne connais pas le signe de a+b+c, tu ne peux pas transformer
b/(a+b+c)<1 en b<a+b+c car pour celà, il faut savoir que a+b+c est positif, ce que nous ignorons encore...
Ah oui effectivement!!! désolée! Puis de la même maniere on arrive à c/a+b+c compris entre 0 et 1 car Y compris entre 0 et 1 (si X compris entre 0 et 1) donc c et a+b+c même signe, d'où b et c de même signe mais comment prouver que a est alors du même signe?
Et ce raisonnement va t'il prouver les 2 sens?(le si et seulement si)?
:D
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