Niveau Licence Maths 1e ann

Injections

Posté par
Aalex00 17-11-17 à 11:52

Bonjour,
Si on note $\Gamma$ l'ensemble des bijections de $A \to B$ et $\Gamma_{ab}$ l'ensemble des bijections de $A\setminus\{a\} \to B\setminus\{b\}$ pour $(a,b) \in A\times B$ quelconque.

On cherche à montrer que $\Gamma \to B \times \Gamma_{ab}$ et $B\times \Gamma_{ab}\to \Gamma$ sont des injections (ce qui montrera que les deux ensembles sont en bijection).

Pour une application $F: \Gamma \to B \times \Gamma_{ab}$ , on note $F(f)=(F_1(f), F_2(f))$ les composantes de l'image de $F(f)$ (on a donc $F_1(f) \in B$ et $F_2(f) \in \Gamma_{ab}$ ).
$\forall \gamma \in \Gamma$ on définit alors $F_1$ et $F_2$ comme suit :
1) $F_1(\gamma) = \gamma(a)$
2) $F_2(\gamma): A\setminus\{a\} \to B\setminus\{b\}$ telle que $\forall x \in A\setminus\{a\}$ , $F_2(\gamma)(x) = \begin{cases} \\ \gamma(x) & \quad \text{si } x \neq \gamma^{-1}(b)\\ \\ \gamma(a) & \quad \text{si } x = \gamma^{-1}(b) \\ \end{cases}$

Pour l'injection dans l'autre sens : $\forall (b,\sigma) \in B \times \Gamma_{ab}$ , on définit $G(b,\sigma) \in \Gamma$ par :
1) $G(b,\sigma)(a) = b$
2) $\forall x \neq a$ , $G(b,\sigma)(x) = \sigma(x)$

Ma question étant : comment montrer proprement que $F$ et $G$ définies ci-dessus sont injectives ?
Pour être complet, il me semble qu'il faudrait aussi montrer que $F$ et $G$ sont bien définies et qu'en particulier, que $F_2(\gamma)$ soit bien un élément de $\Gamma_{ab}$ .

Posté par re : Injections 17-11-17 à 12:12

Bonjour Aalex00.
Comment fais-tu d'ordinaire pour montrer l'injectivité d'une application ?
Là, tu fais pareil : tu prends deux éléments $\gamma_1, \gamma_2 \in \Gamma, ~\gamma_1 \neq \gamma_2$ et tu montres que $F(\gamma_1) \neq F(\gamma_2)$ .
Le tout est d'arriver à faire passer ce que signifie que deux applications sont différentes (En plus, là, $F$ est un produit d'applications $F = F_1 \times F_2$ ).

Effectivement, auparavant, tu peux vérifier que $F$ est bien définie. Ça doit être assez routinier.

Posté par re : Injections 17-11-17 à 12:30

Mais si je comprends bien l'énoncé, j'obtient :
$F( \gamma_1 ) = (F_1 ( \gamma_1 ) , F_2 ( \gamma_1 ))=( \gamma_1 (a), \begin{cases}\gamma_1 (x) \\ \gamma_1 (a)\end{cases})$
Et $F( \gamma_2 ) =( \gamma_1 (a), \begin{cases}\gamma_2 (x) \\ \gamma_2 (a) \end{cases})$
Les accolades représentent les cas possibles.

Mais de la je n'arrive pas à conclure car $\gamma_1$ $\gamma_2$ $x \in A$ tq $\gamma_1 (x)$ $\gamma_2 (x)$ mais pas $\forall x$ ?!

Peut - être suis-je pas sur la bonne voie ?

Posté par re : Injections 17-11-17 à 13:13

Si $f,g : A \rightarrow B$ sont deux applications, que signifie $f \neq g$ ?

Posté par re : Injections 18-11-17 à 11:31

Bonjour, cela signifie :
$\exists x \in A$ tq f(x)g(x)
Car par négation le devient .

Posté par re : Injections 18-11-17 à 15:36

Tout à fait.
Donc tu appliques ce principe à $\gamma_1$ et $\gamma_2$ et tu distingues selon que $x = a$ ou $x \neq a$

Posté par re : Injections 18-11-17 à 17:29

Ok, merci de ton aide je vais tout recommencer

Posté par re : Injections 18-11-17 à 18:26

Voilà ma réponse du coup :

Pour l'injectivité de $F\ :\ \Gamma \rightarrow \ B \times \Gamma_{ab}$ :
Soient $f,\ g\ \in\ \Gamma\ tq\ f\neq g$ ,
   Montrons que $F(f) \neq F(g)$ :
   $f \neq g\ \Rightarrow \ \exists \ x\ \in\ A\ tq\ f(x)\neq g(x)\ ,donc\ :$
   $si\ x=a\ ,$
       $F(f)=(f(a)\ ,\ F_2 (f))\ et\ F(g)=(g(a)\ ,\ F_2 (g))$
       $Ainsi,\ comme\ f(a)\neq g(a)\ on\ a\ F(f)\neq F(g)$
   $si\ x\neq a\ ,$
       $alors\ x\ \in\ A-\{a\}$
       $et\ par\ hypothèse\ :\ \forall\ x\ \in\ \A-\{a\}\ ,\ F_2 (f)(x)\ \in\ B-\{b\}$
       $\Rightarrow f(x),\ g(x)\ \in\ B-\{b\}$
       $Or\ f,\ g\ sont\ bijectives\ car\ dans\ \Gamma ,\ donc\ :\ f(x),\ g(x)\neq b\ \Rightarrow\ f^{-1}(b),\ g^{-1}(b)\neq x$
       $Donc\ \forall\ x\in\ A-\{a\},\ \begin{cases}F(f)=(f(a)\ ,\ f(x))\\F(g)=(g(a)\ ,\ g(x))\end{cases}$
       $Mais\ par\ hypothèse\ on\ en\ deduit: \ \exists \ x\ \in\ A\ tq\  F(f)\neq F(g)$
Ainsi $F$ est injective.

J'ai essayé d'être le plus propre possible. Cela parait-il correct ?

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