On va répéter encore une fois :

Nous ne souhaitons pas héberger sur ce forum ou pointer vers des documents originaux (scans de livres, de documents divers devoirs, DM... pour lesquels vous n'avez pas forcément l'autorisation de publication !)

Un petit effort, cela te fait 4 lignes à recopier... un minimum si tu veux un peu d'aide
[De plus, dans ton premier message, tu utilisais un vocabulaire plutôt inadapté..]

ennoce    (ps le symbole $ signifie est une partie de, representer plus communement par un C applatie)
Soit f une application de E dans F. A $ E et B $ F

a)montrer que A $ f^(-1)(f(A)); donner un exemple ou il n'y a pas d'egalite
b)montrer que f est injective si et seulement si pour toute partie A de E A=f^(-1)(f(A))
c)montrer que f(f^(-1)(B)) $ B;donner un exemple ou il n'y a pas d'egalite
d)montrer que f est surjective si et seulement si pour toute partie B de F f(f^(-1)(B))=B


voila l'ennonce ecrit donc si vous ne comprenez pas c'est pas de ma photo d'autant plus que j'ai le droit de publication
merci comme meme

bonjour darkein

votre exo est un classique de la théorie des ensembles. En effet, les hypothèses sont minimales sur les ensembles A,E,B et sur l'application f. Ce qui veut dire que le résultat que démontrez s'appliquent en général.

lorsque vous avez à démontrer l'inclusion de deux ensembles X et Y vous avez l'équivalence:

(X $ Y) ssi( qq soit x élément de E: xEX ==>xEY)

soit donc a élément de E tel que aEA

donc f(a) E F(A)

donc il existe a'EA tel que f(a)=f(a'); a' peut être différent de a.
a=f^-1(f(a'))

donc aEf^-1(f(A)).

donc A $ f^-1(f(A)).

il n'y a pas d'égalité si f n'est pas injective.

ex: E={a,b,c}  A={a}

et f telle que : f(a)=c f(b)=c et f(c)=a

on a f(a)=f(b) et a est différent de b donc f n'est pas injective.

f-1(f(A))={a,b} on a bien

{a} $ {a,b} mais pas {a,b} $ {a}

voila pour la question a).

je vous laisse traiter les autres question.

bon courage.