Supposons f(a)=f(b)
Alors f^-1{f(a)}=f^-1{f(b)}
C'est-à-dire : a=b
Donc f injective

pourquoi un singleton ?
en fait , je ne vois pas trop ce que ca représente un singleton , si vous pouviez me l'expliquer ?
merci

Si tu as pour hypothèse que pour tout ensemble A, c'est vrai pour n'importe lequel, et donc, c'est vrai pour les singletons, entre autres.
Notamment f^{-1}(f({x}))={x} signifie que les seuls éléments qui sont envoyés sur f(x), sont en fait, un seul élément, l'élément x.
C'est la définition de l'injectivité.
A+

"Notamment f^{-1}(f({x}))={x} signifie que les seuls éléments qui sont envoyés sur f(x), sont en fait, un seul élément, l'élément x."

si vous pouviez etre un peu plus clair

Ton énoncé est imprécis. Qui est A ? Un élément ou une partie ?
Comme on a A=f^-1(...)
et que, dans le cas général, f^-1 renvoie un ensemble, j'en déduis que A est une partie de l'ensemble total.

Dans ce cas, la démonstration pourrait être :

Supposons f(a)=f(b)
Alors f({a})=f({b})
Alors f^-1(f({a}))=f^-1(f({b}))
C'est-à-dire : {a}={b}
et a=b
Donc f injective

Sauf erreur.

Nicolas

oui , A est bien une partie de l'ensemble total
mais pourquoi utiliser un singleton ? qu'est ce que ca apporte en plus par rapport à :
Supposons f(a)=f(b)
Alors f-1(f(a))=f-1(f(b))
C'est-à-dire : a=b
Donc f injective

Tu utilises :
f-1(f(a))=a
Mais l'énoncé ne te dit pas cela. Il te dit :
f-1(f(une partie de l'ensemble total))=la même partie
A l'intérieur de f-1(f(...)), il faut donc un sous-ensemble.
On prend ici un singleton.