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injectivité et restriction d une fonction ...
Bonjour à tous 
Je bloque sur cette partie d'un exercice (de mon DM) , pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?
Soit E = {1,...,m} avec m entier strictement positif.
Et f une fonction injective définie dans E et à valeurs réelles.
Si A est une partie de E, on désigne par fA la restriction de f à A c'est à dire la fonction définie de A vers R telle que :
pour tout a élément de A , fA(a) = f(a)
Par convention, on décide qu'une fonction dont le domaine de défintion se réduit à un point est à la fois croissante et décroissante.
I) Soit m = 6 et f défine par :
f(1) = 3 , f(2) = 2 , f(3) = 4 , f(4) = 6 , f(5) = 5 , f(6) = 1
1°) Trouver toutes les parties A de E contenant au moins deux éléments et telles que fA soit croissante.
2°) Trouver toutes les parties A de E contenant au moins deux éléments et telles que fA soit décroissante.
II) 1°) Montrer que pour tout p dans E , il existe au moins une partie 1 de E telle que :
* A 
{1,...,p}
* p 
A
* fA est croissante.
Voila, je n'ai réussi à traiter aucunes de ces questions (alors que ça se trouve la réponde est évidente ...)
Merci d'avance pour votre aide 
pour les deux premières questions, il s'agit simplement de relver toutes les possibilités : tu prends un partie de E ({1,3,5} par exemple ) et tu regardes si f restreinte à cette partie est croissante (ce qui est le cas sur l'exemple). T'as plus qu'à capturer toutes ces parties et à en faire un jolie liste.
Fais pareil pour les décroissantes.
Pour le II 1) A = {p} convient je crois ! si t'as d'autres questions hésite pas ...
salut Dementor et merci pour ta réponse !
Donc si j'ai bien compris, il faut que je trouve tous les ensembles A de E sur lesquelles fA est croissante et que je sorte toutes les parties de cet ensemble ??
Exemple pour A = {1,3,5}
on a P(A) = {
,{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5}}
C'est exact ou pas ?
Autre question :
Dans ce cas, l'ensemble A = {2,3,4} vérifis aussi fA croissante ? Il faut que je trouve alors toutes ses parties ?
Dementor n'étant pas connecté(e), si quelqu'un voit une réponse a me donner, qu'il n'hésite pas ! 
merci d'avance ...
non c encore plus que ça, il faut que tu file toutes les parties de E telles que f restreinte à E soit croissante donc y a pas l'ensemble vide (ça n'a pas de sens) mais y a tous les singletons par exemple donc trouve une méthode d'énumération et relève-les toutes.
ok merci !!
Et il faut donc que mes parties possèdent au moins 2 éléments c'est ça ?
Donc les singletons simple comme {1} , {3} , {5} sont aussi à éliminer si j'ai bien compris ! ( dis le moi si j'ai faux )
merci beaucoup pour ton aide en tout cas
si ya les singleton puisqu'on te dit dans l'énoncé que une fonction restreinte à un singleton est à la fois croissante et d'croissante, je dis juste qu'il faut chercher toutes les parties de E qui marchent or les singletons marchent (relis bien mon précédent posts, g jamais dit le contraire)
Désolé d'abuser de ta gentilesse, mais en es-tu sur, parce que la question est :
"Trouver toutes les parties A de E contenant au moins deux éléments et telles que fA soit croissante."
ok merci, je vais essayer de me débrouiller avec tous ces conseils !
Je poserais peut-être quelques autres questions demain, donc si tu passes dans le coin
En tout cas, merci beaucoup pour ton aide !
Donc si j'ai bien compris, on doit éliminer aussi les singletons types :
{5,4} qui marcherait ( car f(5) = 5 et f(4) = 6 )
Mais comme 5 > 4 , ça ne marche pas je crois ... puisque A est une partie de E.
Avec E = {1,...,6}
Si c'est ça, je crois que j'ai réussi à finir la question !
A+
un singleton par définition c un ensemble à un élément et {5,4} en a 2
sinon t'as raison d'éliminer {5,4} parce que quand tu regardes les variations de ta fonction t'es obligée de les regarder avec l'ensemble de déf bien organisé dans l'ordre croissant : ta fonction c'est rien d'autre qu'une suite en fait et quand tu regardes les variations d'une suite, tu regardes pas u5 avant u4. Bonne continuation.
Salut, c'est encore moi, j'ai une autre question.
Dans la suite, on me dis :
Question : II : 2°)
On désigne par ip le plus grand élément de l'ensemble des cardinaux des parties vérifiant les conditions du II : 1°)
Calculer les ip pour l'exemple de la question I
J'ai du mal avec la phrase : " le plus grand élément de l'ensemble des cardinaux des parties "
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer à quoi ça correspond s'il vous plait ? ( si possible sur un exemple ... )
Merci d'avance
Salut,
Tu as un certain nombre de parties d'un ensemble.
Mettons, dans ton cas, par exemple {1,2,3}, {1,2,4}, {2,4,5,6}.
Bon. On considère en fait les cardinaux de ces parties (3, puis 3, puis), donc ici l'ensemble {3,4}.
Et je prends donc le plus grand élément, à savoir 4 (autrement le cardinal maximum des parties en question).
OK?
biondo
Il manque des mots... Dsl.
(3, puis 3, puis 4)
et
autrement dit
Merci biondo !!
Je crois que je comprends ton explication. Cependant j'ai une question, dans ce cas :
Calculer les ip pour l'exemple de la question I.
Comment je fais ? Parce que e vais obtenir un seul ip non ?
Pour un p fixé, oui.
Mais la valeur de ip dépend de celle de p...
Mmmmmmhhh.
m vaut 6.
p varie donc de 1 à 6.
You're all right !
J'y avais pas pensé, quel idiot ...
Merci beuacoup, je devrais pouvoir me débrouiller maintenant ( enfin j'espère )
Sinon, je re-posterais mes question.
A+
Je suis bloqué dorénavant à la dernière question :
Questions :
XI) On garde E = {1,...,m}
Soit a 2 et b deux entiers naturels fixés et m = ab.
On note q(x) et r(x) le quotient et le reste de la division euclidienne d'un nombre entier x par a.
On définit la fonction f sur E par : f(x) = (q(x)+1)a - r(x)
1°) Préciser les parties A de E telles que fA soit décroissante
Quel est le plus grand cardinal possible ?
2°) Préciser les parties B de E telles que fB soit croissante.
Quel est le plus grand cardinal possible ?
Ce que j'ai fait :
On a : x = aq(x) + r(x) avec O r(x) < a Or a
2
Donc 0 r(x) < 2
soit r(x) = 0 ou r(x) = 1
Mais je ne sais pas quoi faire ensuite ...
Quelqu'un a une idée ?
merci d'avance ...
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