Bonjour,
oui déjà toute application continue est intégrable, ça c'est vrai.
mais elle peut n'être continu que par morceaux, elle sera intégrable aussi.

Glapion
La question c'est de monter que exp(-xt)f(t)dt est ben définie (l'intégrale de 0 à +oo)
Ma réponse c'est que f et texp(-xt) sont continue sur [0,+oo] donc l'intégrale donnée est bien définie.
Est ce juste?

ha non, ça ne suffit pas, il y a ici une borne infinie (ce que je disais ci dessus supposait un intervalle). Il faut que tu étudies le comportement de la fonction à l'infini avant de pouvoir conclure. (exemple dx/x entre 1 et l'infini diverge alors que la fonction 1/x est continue donc la continuité ne suffit pas).

que sais-tu sur f(t) ? (parce que si f(t)=e^t² par exemple l 'intégrale diverge,
sait-on par exemple que f(t) est bornée ?)

Glapion
f:xxⁿ est d'ordre exponentiel

non un simple polynôme.

Donc en fait tu veux étudier la convergence de l'intégrale ? (x est positif je suppose ?)

Glapion
oui c'est ça .
En effet la question c'est de monter que cette intégrale est bien définie

j'ai trouvé un exo similaire et dans la correction il commence par montrer que la valeur absolut de la fonction est bornée par une fonction intégrable et il conclut par dire que notre intégrale est bine définie.

ça marche pas ici, parce que tu peux difficilement majorer la fonction par une fonction intégrable.

Moi je verrais plutôt une intégration par parties

tu fais uv-vdu qui te fera exprimer
I_n(x) en fonction de I_n-1(x)

ha si, il y a une autre possibilité, le théorème de comparaison (c'est un peu ce que tu proposais).
l'astuce est d'écrire e^-xt = e^-xt/2 * e^-xt/2
puis de majorer tⁿe^-xt/2 par 1 (pour un t assez grand)
(ça tend vers 0 à l'infini donc c'est inférieur à 1 pour un t > A

ensuite il n'y a plus qu'à montrer que converge ce qui est facile puisqu'on peut la calculer.

J'ai trouvé  la relation j'ai fait la récurrence et j'ai trouvé  I_n=n!/xⁿI₀
et après je fais quoi ?

Glapion
Et si je veux continuer avec la méthode que vous avez proposer je fais quoi après avoir trouver la relation

si tu as calculé I₀ et montré qu'elle est finie et que tu as l'expression de I(x) c'est que l'intégrale était bien définie.

ah, je vous remercie infiniment. Merci beaucoup

il faudrait que tu ais compris aussi l'autre méthode qui est plus dans l'esprit de ton exercice (ici on a pu calculer l'intégrale avec une relation de récurrence mais c'est un heureux hasard).

Glapion
Oui j'ai compris l'autre méthode aussi. Merci.