Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau maths sup
Partager :

Intégrable

Posté par
Rira
11-01-19 à 11:50

Bonjours,
Comment montrer qu'une fonction est intégrable.
Juste pendant un certain moment je pensais que toute application continue est intégrable.
aidez moi s'il vous plait.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrable 11-01-19 à 11:54

Bonjour,
oui déjà toute application continue est intégrable, ça c'est vrai.
mais elle peut n'être continu que par morceaux, elle sera intégrable aussi.

Posté par
Rira
re : Intégrable 11-01-19 à 12:09

Glapion
La question c'est de monter que exp(-xt)f(t)dt est ben définie (l'intégrale de 0 à +oo)
Ma réponse c'est que f et texp(-xt) sont continue sur [0,+oo] donc l'intégrale donnée est bien définie.
Est ce juste?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrable 11-01-19 à 12:18

ha non, ça ne suffit pas, il y a ici une borne infinie (ce que je disais ci dessus supposait un intervalle). Il faut que tu étudies le comportement de la fonction à l'infini avant de pouvoir conclure. (exemple dx/x entre 1 et l'infini diverge alors que la fonction 1/x est continue donc la continuité ne suffit pas).

que sais-tu sur f(t) ? (parce que si f(t)=e^t² par exemple l 'intégrale diverge,
sait-on par exemple que f(t) est bornée ?)

Posté par
Rira
re : Intégrable 11-01-19 à 15:27

Glapion
f:xxn est d'ordre exponentiel

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrable 11-01-19 à 15:55

non un simple polynôme.

Donc en fait tu veux étudier la convergence de l'intégrale \int_0^{+\infty}t^ne^{-xt}dt ? (x est positif je suppose ?)

Posté par
Rira
re : Intégrable 11-01-19 à 16:37

Glapion
oui c'est ça .
En effet la question c'est de monter que cette intégrale est bien définie

Posté par
Rira
re : Intégrable 11-01-19 à 16:40

j'ai trouvé un exo similaire et dans la correction il commence par montrer que la valeur absolut de la fonction est bornée par une fonction intégrable et il conclut par dire que notre intégrale est bine définie.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrable 11-01-19 à 17:26

ça marche pas ici, parce que tu peux difficilement majorer la fonction par une fonction intégrable.

Moi je verrais plutôt une intégration par parties

I_n(x)= \int_0^{+\infty}t^ne^{-xt}dt = -\frac{1}{x} \int_0^{+\infty}t^n d(e^{-xt}) = etc ... tu fais uv-vdu qui te fera exprimer
In(x) en fonction de In-1(x)

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrable 11-01-19 à 17:36

ha si, il y a une autre possibilité, le théorème de comparaison (c'est un peu ce que tu proposais).
l'astuce est d'écrire e-xt = e-xt/2 * e-xt/2
puis de majorer tne-xt/2 par 1 (pour un t assez grand)
(ça tend vers 0 à l'infini donc c'est inférieur à 1 pour un t > A

ensuite il n'y a plus qu'à montrer que \int_0^{+\infty} e^{-xt/2}dt converge ce qui est facile puisqu'on peut la calculer.

Posté par
Rira
re : Intégrable 11-01-19 à 17:43

J'ai trouvé  la relation j'ai fait la récurrence et j'ai trouvé  In=n!/xnI0
et après je fais quoi ?

Posté par
Rira
re : Intégrable 11-01-19 à 17:46

Glapion
Et si je veux continuer avec la méthode que vous avez proposer je fais quoi après avoir trouver la relation

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrable 11-01-19 à 18:22

si tu as calculé I0 et montré qu'elle est finie et que tu as l'expression de I(x) c'est que l'intégrale était bien définie.

Posté par
Rira
re : Intégrable 11-01-19 à 18:28

ah, je vous remercie infiniment. Merci beaucoup

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrable 11-01-19 à 19:11

il faudrait que tu ais compris aussi l'autre méthode qui est plus dans l'esprit de ton exercice (ici on a pu calculer l'intégrale avec une relation de récurrence mais c'est un heureux hasard).

Posté par
Rira
re : Intégrable 11-01-19 à 19:21

Glapion
Oui j'ai compris l'autre méthode aussi. Merci.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrable 11-01-19 à 23:53

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1349 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !