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Niveau Licence Maths 1e ann
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Integral

Posté par
Reed6
12-01-18 à 00:57

Bonjour

J'ai un exercice si vous pouvez m'aider.

merci d'avance.

\text{Soit la fonction  }f\text{  continue }\text{, strictement croissante sur l }\!\!'\!\!\text{ intervalle }\left[ 0,a \right]\text{  et  }f\left( 0 \right)=0.\text{ On pose  }g={{f}^{-1}}

\text{1-Montrer en utilisant une subdivision bien choisie du segment }\left[ 0,a \right]\text{ que : }

\int_{0}^{a}{f\left( t \right)}dt+\int\limits_{0}^{f\left( a \right)}{g\left( t \right)}dt=af\left( a \right)

\text{2-En d }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ duire que pour tout }\alpha \in \left[ 0,a \right]\text{  et  }\beta \in \left[ 0,f\left( a \right) \right]:

\alpha \beta \le \int_{0}^{\alpha }{f\left( t \right)}dt+\int_{0}^{\beta }{g\left( t \right)}dt

Posté par
Panter Correcteur
re : Integral 12-01-18 à 01:58

Bonsoir,

1-

Indice

Calculer \displaystyle\int_{0}^{f\left( a \right)}{g\left( t \right)}\text{  d}t en appliquant le changement de variable x=f^{-1}(t) suivi d'une intégration par parties.

Posté par
perroquet
re : Integral 12-01-18 à 04:06

Bonjour à tous les deux.

@Panter :
Ton changement de variable nécessite que  f soit C1 et ce n'est pas dans les hypothèses.

Posté par
perroquet
re : Integral 12-01-18 à 04:48

@Reed6

S_n=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a}{n} f\left ( \frac{ka}{n}\right) est une somme de Riemann de f sur [0,a].
\lim S_n=\int_0^a f (t)dt.

\Sigma_n = \sum_{k=0}^{n-1} \left( f\left( \frac{(k+1)a}{n}\right) - f\left( \frac{ka}{n}\right)\right ) \frac{(k+1)a}{n} est une somme de Riemann de f-1 sur  [0,f (a)].
\lim \Sigma_n = \int_0^{f (a)} f^{-1}(t) dt

Et il n'est pas difficile de montrer que   S_n+\Sigma_n =af (a)

...

Attention : je n'ai pas fait les démonstrations.

Posté par
Reed6
re : Integral 12-01-18 à 13:19

Bonjour  perroquet,

Je n'ai pas bien compris la somme de Riemann de {{f}^{-1}}  sur [0,f(a)]

Posté par
boninmi
re : Integral 12-01-18 à 13:39

Il suffit de choisir un repère orthonormé et de faire un dessin.
Par symétrie des courbes, la somme des deux aires est l'aire du rectangle de côtés a et f(a).

Posté par
Reed6
re : Integral 12-01-18 à 15:11

Parles-tu de quelles démonstrations ?

Et pourquoi ce n'est pas difficile de montrer que {{S}_{n}}+\sum\nolimits_{n}{=af\left( a \right)} ?

j'ai essayé, mais je n'arrive pas à le démontrer jusqu'à présent.

Posté par
luzak
re : Integral 12-01-18 à 16:18

Bonsoir !
\Sigma_n est la différence de deux sommes, tu fais un changement d'indice dans l'une des deux.

Posté par
boninmi
re : Integral 12-01-18 à 18:31

Reed6 @ 12-01-2018 à 15:11

Parles-tu de quelles démonstrations ?

Je parle de démontrer directement, par un dessin, la question 1. Il faut peut-être distinguer deux cas (f "au dessus" ou "au dessous" de la première bissectrice), mais il n'y a pas besoin de subdivision, ni d'intégration par partie. On va dire évidemment que "ce n'est pas rigoureux". Je pense que ça l'est tout autant.

Posté par
carpediem
re : Integral 12-01-18 à 20:22

salut

boninmicertes oui ... mais l'objectif est fort probablement ici d'utiliser ces sommes de Riemann ...

Posté par
boninmi
re : Integral 12-01-18 à 20:44

carpediem @ 12-01-2018 à 20:22

salut

boninmicertes oui ... mais l'objectif est fort probablement ici d'utiliser ces sommes de Riemann ...

Tu n'as pas tort ...

Posté par
Reed6
re : Integral 12-01-18 à 22:01

luzak

J'ai essayé, mais je n'arrive pas à le faire.

Posté par
Reed6
re : Integral 12-01-18 à 22:23

J'ai même calculé cette somme avec maple et je n'ai pas trouvé af(a)

Posté par
etniopal
re : Integral 13-01-18 à 00:11

Commence par faire un vague dessin pour voir ce que je te propose .

Tu dessines un rectangle représentant R :=    [0 , a]   [0 , f(a)] .
Tu prends un entier n > 3 et mets une croix en chaque point de coordonnées (ka/n , f(ka/n)  ( 1 k n - 1 )

Tu colories d'une même couleur c  les rectangles   représentant   An,k :=  [ka/n , (k+1)a/n] [0 , f(ka/n)] ( 1 k n - 1 )
et d'une  autre même autre couleur c'  les rectangles  représentant  Bn,k  :=   [0 , ka/n]   [f(ka/n) , f((k+1)a/n)  ]
  ( 1 k n - 1 )

Soient alors  Sn la somme des aires des   An,k  ,  Tn  celle des aires des   Bn,k  et Un celle des aires des   Cn,k := [ka/n , (k+1)a/n)]    f([k/n)  ,f ((k+1)/n)]   (0 k n-1) .


Il est clair qu'on a :    af(a) =    Sn,k  + Tn +  Un,k   .

Il te reste à montrer que lorsque n +  on a :
  Sn,k   0a f
Tn,k   0f(a) g
Un 0 .

Rq : La continuité uniforme de f intervient dans la preuve .

Posté par
perroquet
re : Integral 13-01-18 à 00:55

@Reed6

S_n+\Sigma_n  = a\sum_{k=0}^{n-1} \left[\frac{k+1}{n} f\left(\frac{(k+1)a}{n}\right) - \frac{k}{n} f\left( \frac{ka}{n}\right ) \right]= af (a)-0 f (0)= af (a)
(il y a un télescopage)

Posté par
perroquet
re : Integral 13-01-18 à 01:10

@boninmi:

Moi aussi, je préfère la méthode géométrique que tu as exposée. Elle permet de visualiser ce qui se passe dans un cas simple, par exemple lorsque la courbe représentative de f est au-dessous de la première bissectrice  (ne pas oublier que cette courbe représentative peut rencontrer une infinité de fois la première bissectrice).
Ensuite, on peut faire un raisonnement rigoureux ,  n'utilisant pas le dessin.

Posté par
luzak
re : Integral 13-01-18 à 09:26

Reed6 @ 12-01-2018 à 22:01

luzak

J'ai essayé, mais je n'arrive pas à le faire.

Si dans \sum_{0\leqslant k<n}\dfrac{(k+1)a}n\,f(\frac{(k+1)a}n) tu remplaces k+1 par p tu obtiens \sum_{1\leqslant p\leqslant n}\dfrac{pa}n\,f(\frac{pa}n) et, en mettant de coté les termes manquants tu obtiens le téléscopage proposé par perroquet.

Posté par
etniopal
re : Integral 13-01-18 à 10:23

Pour pouvoir dire que le  n de  perroquet est une somme  de Riemann  ( qui converge vers g ) on doit vérifier que le pas de la  subdivisions utilisée   tend vers 0  .
Et pour ça invoquer    la   continuité uniforme de g .

Posté par
Reed6
re : Integral 13-01-18 à 10:54

Bonjour,

Merci perroquet etniopal  , maintenant j'ai compris.

Pour la deuxième question géométriquement cela se voit, donc analytiquement faut-il un majorant de l'erreur globale ? sinon la de relation de chasles ?

Merci ,

Posté par
etniopal
re : Integral 13-01-18 à 11:17

Pour la 2 :
Si on suppose   :
On a :   = 0 f  + 0f() g
et
0f() g 0f() g  puisque g est 0 et f croissante

Posté par
Reed6
re : Integral 14-01-18 à 02:06

Bluzak

On peut aussi faire :

a\left( \sum\limits_{j=1}^{n-1}{\frac{j}{n}f\left( \frac{ja}{n} \right)+f\left( a \right)-\sum\limits_{k=1}^{n-1}{\frac{k}{n}f\left( \frac{ka}{n} \right)}} \right)=af\left( a \right)

en posant  j=k+1

Posté par
Reed6
re : Integral 14-01-18 à 02:09


etniopal   Pourquoi doit-on supposer que  \alpha \le \beta ?

Posté par
etniopal
re : Integral 14-01-18 à 09:05

Je t'ai laissé le soin d'étudier le cas >   .

Posté par
Reed6
re : Integral 14-01-18 à 18:30

Bonjour,

Je dois d'abord comprendre ton cas de si \alpha \le \beta  alors \int_{0}^{\alpha }{f}+\int_{0}^{f\left( \alpha  \right)}{g}=\alpha \beta

Dans la question (1) on n'avait pas a\le f\left( a \right)  comme condition pour avoir :   \int_{0}^{a}{f}+\int_{0}^{f\left( a \right)}{g}=af\left( a \right)

Posté par
Reed6
re : Integral 14-01-18 à 23:58

peux-tu m'expliquer pourquoi  ?

Posté par
etniopal
re : Integral 15-01-18 à 00:24


Pour  s et t dans [0 , a]  tu pose h(s,t) = \int_{0}^{s}{f}+\int_{0}^{f(t)} g
 \\

A la question 1  on a en fait montré que  pour tout t de [0 , a] on a h(t,t) = tf(t) .

Fais un dessin et tu verras que si s t on a h(s,t) h(t,t) h(a,a)   et que  si t s  on a  h(s,t) h(s,s) h(a,a)  .
Il est facile de justifier ces inégalités (comme les aveugles )  en tenant compte de ce que f est 0 et croissante ..

Posté par
Reed6
re : Integral 15-01-18 à 01:56

Ce n'est pas cela que je cherche à comprendre.

Je pense qu'on est en train de chercher ça : \int_{0}^{f\left( \alpha  \right)}{g}\le \int_{0}^{\beta }{g}  et pas  \int_{0}^{f\left( \alpha  \right)}{g}\le \int_{0}^{f\left( \beta  \right)}{g}

Donc étudier les deux cas :  f\left( \alpha  \right)\le \beta   et  f\left( \alpha  \right)>\beta

Sauf si je n'ai rien compris

Posté par
Reed6
re : Integral 15-01-18 à 02:26

\alpha \beta =\int_{0}^{\alpha }{f+\int_{0}^{f\left( \alpha \right)}{g}} , est vrai juste pour \alpha \le \beta  ou bien pour tout \alpha ,\beta   des intervalles précités dans l'énoncé ?

Posté par
Reed6
re : Integral 15-01-18 à 02:43

Bref, j'ai essayé et ressayé, mais je ne comprends pas ce que tu souhaites faire !

Posté par
perroquet
re : Integral 15-01-18 à 15:19

@Reed6

Extrait de ton message du 15 janvier à 1h56

Citation :

...
Donc étudier les deux cas :     f\left( \alpha  \right)\le \beta   et   f\left( \alpha  \right)>\beta
...

Ce sont bien les deux cas qu'il faut envisager.

Extrait de ton message du   15 janvier à 2h26
Citation :

\alpha \beta =\int_{0}^{\alpha }{f+\int_{0}^{f\left( \alpha \right)}{g}} , est vrai juste pour \alpha \le \beta   ou bien pour tout \alpha ,\beta   des intervalles précités dans l'énoncé ?

L'égalité n'est vraie que pour \beta=f(\alpha).

Je suis allé relire les messages de  etniopal du 13 janvier à 11h17 et du 15 janvier à 0h24. Je ne comprends pas l'idée de ses démonstrations ...

Je te proposerai une démonstration dans le message suivant.

Posté par
perroquet
re : Integral 15-01-18 à 15:37

Premier cas:  \beta < f(\alpha)  (ce qui est équivalent à  g(\beta)<\alpha)
\alpha\beta = g(\beta)\beta + (\alpha - g(\beta)) \beta
D'après la première question     \beta g(\beta) = \int_0^{\beta} g(t) dt +\int_0^{g(\beta)} f(t) dt
f étant croissante   \int_{g(\beta)}^{\alpha} f(t)  dt \geq \int_{g(\beta)}^{\alpha} f[g(\beta)] dt = \beta (\alpha-g(\beta))
Donc, avec ce qui précède:  \alpha\beta \leq \int_0^{\beta} g(t) dt +\int_0^{g(\beta)} f(t) dt +\int_{g(\beta)}^{\alpha} f(t)  dt = \int_0^{\beta} g(t) dt +\int_0^{\alpha} f(t) dt  

Posté par
perroquet
re : Integral 15-01-18 à 15:51

Deuxième cas: \beta < f(\alpha)
\alpha\beta = \alpha f(\alpha) + \alpha (\beta-f(\alpha))
D'après la première question: \alpha f(\alpha)= \int_0^{\alpha} f(t)dt +\int_0^{f(\alpha)} g(t) dt
g étant croissante:   \alpha(\beta -f(\alpha)) = \int_{f(\alpha)}^{\beta} g[f(\alpha)] dt \leq \int_{f(\alpha)}^{\beta} g(t) dt
Donc, avec ce qui précède    \alpha\beta \leq \int_0^{\alpha} f(t) dt +\int_0^{f(\alpha)} g(t) dt +\int_{f(\alpha)}^{\beta} g(t) dt = \int_0^{\alpha} f(t) dt +\int_0^{\beta} g(t) dt

Posté par
carpediem
re : Integral 15-01-18 à 18:21

merci perroquet : c'est exactement ce quoi t'est-ce que j'essayais ... et j'ai merdé !!!

Posté par
Reed6
re : Integral 16-01-18 à 09:23

Bonjour,

C'est très clair perroquet.
Merci beaucoup pour les explications.

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