Niveau IUT/DUT

intégral

Posté par
smir 25-02-24 à 20:04

Bonsoir je voudrais de l'aide dans cet exercice pour la question 3) a) et 3) b)
Merci d'avance.

A tout réel x on associe
$F(x)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos (x sin t)}dt \\$
On se propose d'étudier la fonction F de IR vers IR ainsi définie
1) Montrer que pour tous réels x et h, on a:
$a) F(x+h)-F(x)=-2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{sin (\frac{h}{2}sint).sin[(x+\frac{h}{2})sint]}dt\\$

$b) \left|sin (\frac{h}{2}sint).sin[(x+\frac{h}{2})sint] \right|\leq \frac{\left|h \right|}{2}\\$

$c)\left|F(x+h)-F(x) \right|\leq \pi\frac{\left|h \right|}{2}$
2) En déduire de ce procédé que F est continue sur IR et monotone sur $[0; \pi]$
3) Soit x un réel fixé. Pour tout réel non nul h, on pose:
$\Delta (h)=\frac{F(x+h)-F(x)}{h}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{sint.sin[(x+\frac{h}{2}) sint]}dt$

a) En utilisant la relation: $t-\frac{t^{3}}{6}\leq sint\leq t$ , montrer que: $\left|sin(\frac{h}{2}sint)-\frac{h}{2}sint \right|\leq \frac{\left|h \right|^{3}}{48}\left|sint \right|\leq \frac{\left|h \right|^{3}}{48}$

b) Etablir que : $\left|\Delta (h) \right|\leq \frac{\left\pi|h \right|^{2}}{48}$

Posté par re : intégral 25-02-24 à 23:36

Bonsoir, je demande encore de l'aide pour cet exercice. Merci

Posté par re : intégral 26-02-24 à 09:21

Bonjour,

Pour la 1a.

Utiliser $cos(A) - cos(B) = - 2.sin(\frac{A+B}{2}).sin(\frac{A-B}{2})$

avec A = (x+h).sin(t) et B = x.sin(t)

...

Posté par re : intégral 26-02-24 à 09:22

Oups, pas vu que l'aide était demandée seulement pour 3a et 3b

Posté par re : intégral 26-02-24 à 10:02

salut

si $t - \dfrac {t^3} 6 \le \sin t \le t$ alors $- \dfrac {t^3} 6 \le \sin t - t \le 0$

à appliquer à $t = \dfrac h 2 \sin t$ puis prendre la valeur absolue ...

Posté par re : intégral 26-02-24 à 17:13

Bonsoir,
il faut quand même remarquer que la relation $t-\frac{t^{3}}{6}\leq \sin t\leq t$ n'est vraie que si $t\ge0.$

Par contre on a, quelque soit le réel $t$ , $\bigl| t-\frac{t^{3}}{6}\bigr| \le \lvert\sin t\rvert\le|t|.$

Posté par re : intégral 27-02-24 à 21:21

Bonsoir,
Mais si on remplace t par: ( h/2) sint ça ne marche pas

Posté par re : intégral 27-02-24 à 21:31

smir @ 25-02-2024 à 20:04

a) En utilisant la relation: $t-\frac{t^{3}}{6}\leq sint\leq t$ , montrer que: $\left|sin(\frac{h}{2}sint)-\frac{h}{2}sint \right|\leq \frac{\left|h \right|^{3}}{48}\left|sint \right|\leq \frac{\left|h \right|^{3}}{48}$

donc

carpediem @ 26-02-2024 à 10:02

si $t - \dfrac {t^3} 6 \le \sin t \le t$ alors $- \dfrac {t^3} 6 \le \sin t - t \le 0$

à appliquer à $t = \dfrac h 2 \sin t$ puis prendre la valeur absolue ...

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