dt pour x appartenant a [0,pi/2[
on me demande de montrer que
tan(x)/[2x(1+tan^2(x)] F(x)/x tan(x)/2x
j'ai pansé à utiliser l'accroissement fini mais ça sert à rien puis j'ai
commencé à partir de l'inégalité t/(1+t^4) < t et j'ai arrivé à montrer la premier partie de l'inégalité : F(x)/x tan(x)/2x
mais pour la deuxieme partie j'ai aucune idée svp j'ai besoin de votre aide
tdt/(1+t4) = (1/2) d(t²)/(1+(t²)²) = (1/2) d(arctan(t²))
donc l'intégrale se calcule
= (1/2) arctan(tan(x)) = x/2
et par ailleurs tan(x)/[2 (1+tan^2(x)] = (sin x / cos x)/(2/cos²x)= (sin x cos x) /2 1/2
donc ça vérifie que F(x) tan(x)/[2 (1+tan^2(x)] mais bon c'est pas complètement satisfaisant comme démarche, on se demande d'où sort ce tan(x)/[2 (1+tan^2(x)]
bon vous m'avez aidé à montrer que tan(x)/[2 (1+tan^2(x)] <1/2 et j'ai trouvé que
F'(x)=1/2 donc F(x)/x=1/2 (d'aprés l'accroissement fini )donc
tan(x)/[2 (1+tan^2(x)] < F(x)/x mais je n'ai pas compris comment je veux introduire x car dans l'inégalité on a tan(x)/[2x(1+tan^2(x)] < F(x)/x
heu je ne comprends pas bien
si on a montré que tan(x)/[2 (1+tan^2(x)] x/2 = F(x)
alors on montre bien que tan(x)/[2x (1+tan^2(x)] F(x)/x
il suffit de diviser par x
on a F(x)=x/2 donc si tan(x)/[2 (1+tan^2(x)] < 1/2 ce n'est pas nessessairement qu'il
est inferieur à F(x)=x/2 car x appartenant à ]0,pi/2[
Bonjour,
Sans prétendre beaucoup améliorer les choses:
On sait ou on prouve que pour
si , et
si , et:
puisque
Autrement, sans calculer , on peut écrire:
Pour tout avec :
Puis intégrer sur :
(en "voyant" une primitive)
Mais bon, tout ceci est bien filandreux...
sinon tan(x)/[2x (1+tan^2(x))] = (1/4) sin(2x)/x
si on veut montrer que c'est inférieur à 1/2, il suffit d'étudier cette fonction
sur [0;/2] on montre facilement que la fonction est décroissante et inférieure à 1/2
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