Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

integral-inégalité

Posté par
erico552
10-01-18 à 19:09



F(x)=\int_{0}^{\sqrt(tan(x)}{\frac{t}{1+t^4}} dt   pour x appartenant a [0,pi/2[  
on me demande de montrer que

                   tan(x)/[2x(1+tan^2(x)]       \leq   F(x)/x        \leq        tan(x)/2x

j'ai pansé à utiliser l'accroissement fini mais ça sert à rien puis j'ai

commencé à partir de l'inégalité             t/(1+t^4)  < t  et j'ai arrivé à montrer la premier partie de l'inégalité :      F(x)/x    <     tan(x)/2x  
mais pour la deuxieme partie j'ai aucune idée svp j'ai besoin de votre aide

Posté par
Glapion Moderateur
re : integral-inégalité 10-01-18 à 19:42

tdt/(1+t4) = (1/2) d(t²)/(1+(t²)²) = (1/2) d(arctan(t²))
donc l'intégrale se calcule
= (1/2) arctan(tan(x)) = x/2

et par ailleurs tan(x)/[2 (1+tan^2(x)] = (sin x / cos x)/(2/cos²x)= (sin x cos x) /2 1/2

donc ça vérifie que F(x) tan(x)/[2 (1+tan^2(x)] mais bon c'est pas complètement satisfaisant comme démarche, on se demande d'où sort ce tan(x)/[2 (1+tan^2(x)]

Posté par
erico552
re : integral-inégalité 10-01-18 à 20:31

bon vous m'avez aidé à montrer que   tan(x)/[2 (1+tan^2(x)]  <1/2      et j'ai trouvé que
F'(x)=1/2   donc   F(x)/x=1/2  (d'aprés l'accroissement fini )donc
tan(x)/[2 (1+tan^2(x)]  <  F(x)/x   mais je n'ai pas compris comment je veux introduire x car dans l'inégalité on a  tan(x)/[2x(1+tan^2(x)]  <  F(x)/x

Posté par
Glapion Moderateur
re : integral-inégalité 10-01-18 à 22:53

heu je ne comprends pas bien
si on a montré que tan(x)/[2 (1+tan^2(x)] x/2 = F(x)
alors on montre bien que tan(x)/[2x (1+tan^2(x)] F(x)/x
il suffit de diviser par x

Posté par
erico552
re : integral-inégalité 11-01-18 à 00:02

on a  F(x)=x/2    donc si    tan(x)/[2 (1+tan^2(x)]  < 1/2  ce n'est pas nessessairement qu'il
est inferieur à     F(x)=x/2  car   x appartenant à      ]0,pi/2[

Posté par
Glapion Moderateur
re : integral-inégalité 11-01-18 à 00:16

oui tu as raison, il y a un truc qui ne va pas.

Posté par
lake
re : integral-inégalité 11-01-18 à 10:52

Bonjour,

Sans prétendre beaucoup améliorer les choses:

   On sait ou on prouve que pour x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right[,\qquad \sin\,x\leq x

  g(x)=\dfrac{\tan\,x}{2(1+\tan^2x)}=\dfrac{1}{4}\,\sin\,2x

si x\in\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right],  \sin\,2x\leq 2x et g(x)\leq \dfrac{x}{2}

si x\in\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right[,   \pi-2x\in\left]0,\dfrac{\pi}2{}\right] et:

    g(x)=\dfrac{1}{4}\,\sin(\pi-2x)\leq \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\leq \dfrac{x}{2} puisque x\geq \dfrac{\pi}{4}

Autrement, sans calculer F(x), on peut écrire:

  Pour tout t\in\left[0,\sqrt{\tan\,x}\right] avec x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right[:

   \dfrac{t(1-t^4)}{(1+t^4)^2}=\dfrac{t}{1+t^4}-\dfrac{2t^5}{(1+t^4)^2}\leq \dfrac{t}{1+t^4}

  Puis intégrer sur [0,\sqrt{\tan\,x}]:

    \left[\dfrac{t^2}{2(1+t^4)}\right]_0^{\sqrt{\tan\,x}}\leq F(x) (en "voyant" une primitive)

  \dfrac{\tan\,x}{2(1+\tan^2x)}\leq F(x)

Mais bon, tout ceci est bien filandreux...

Posté par
Glapion Moderateur
re : integral-inégalité 11-01-18 à 13:17

sinon tan(x)/[2x (1+tan^2(x))] = (1/4) sin(2x)/x
si on veut montrer que c'est inférieur à 1/2, il suffit d'étudier cette fonction
sur [0;/2] on montre facilement que la fonction est décroissante et inférieure à 1/2
integral-inégalité

Posté par
carpediem
re : integral-inégalité 11-01-18 à 14:28

salut

franchement je ne sais pas pourquoi s'emmerder avec ce 1/2x

démontrer ce qui est demandé est équivalent à démonter \dfrac {tan x} {1 + \tan^2x} \le 2F(x) \le \tan x  puisque x >= 0

la fonction x \mapsto \sqrt {\tan x} est croissante sur [0, pi/2] donc \dfrac {2t} {1 + \tan^2 x} \le \dfrac {2t} {1 + t^4}

et il suffit d'intégrer ... ce me semble-t-il ...



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !