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Intégral: longueur d'un astroide

Posté par
roses123456 09-08-20 à 19:54

Bonjour,

J'ai devoir à remettre en intégral et j'ai un numéro que je ne comprends absolument pas.
L'énoncé est le suivant :

L'équation x^2/3 + y^2/3 = 4 décrit un astroide. Déterminez la longueur totale de cet astroide située dans le premier quadrant, soit y= (4-x^2/3) ^ 3/2 pour 0 ≤ x ≤ 8 et en multipliant par 4 (symétrie).

J'ai commencé par trouver la dérivée de y, ce qui me donne :
dy/dx = -(4 - x^2/3) ^1/2 / x^1/3

J'ai essayé, ensuite, d'utiliser la formule L = ( 1 + (dy/dx)^2 )^ 1/2
mais, je me suis rendu compte que dy/dx n'est pas continue sur l'intervalle (0,8)

Je suis bloqué. Normalement, j'aurais essayé d'exprimer plutôt x en fonction de y
Mais, comme j'obtient la même formule, je n'en voit pas l'intérêt.

Merci

Posté par
roses123456re : Intégral: longueur d'un astroide 09-08-20 à 19:55

J'ai fait une faute de frappe pour ma dérivée
Je voulais écrire : dy/dx = - ( 4-x^2/3 )^1/2 / x^1/3

Posté par
carpediemre : Intégral: longueur d'un astroide 09-08-20 à 20:24

salut

si y' est continue ... mais tend vers +oo en 0

cependant les bissectrices du repère sont axe de symétries ...

tu peux donc intégrer de 0 à 8 ou de 8 à 8 (et multiplier par 2)

Posté par
Pirhore : Intégral: longueur d'un astroide 09-08-20 à 20:28

Bonsoir,

Citation :
Déterminez la longueur totale de cet astroïde située dans le premier quadrant, soit y= (4-x^2/3) ^ 3/2 pour 0 ≤ x ≤ 8 et en multipliant par 4 (symétrie).


petite remarque : si c'est la longueur de la courbe située dans le 1er quadrant je ne comprends pas pourquoi tu multiplies par 4.

donc je ne vois pas où est le problème

\begin{aligned} \\ L=\int_0^8 \sqrt{1+y'^2}dx \\ \end{aligned}

\large y={(4-x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}

\large y'=...

Posté par
roses123456re : Intégral: longueur d'un astroide 09-08-20 à 20:37

L'énoncé est suivit d'un graphique
En fait, de ce que je comprends, on multiplie la réponse par 4 pour avoir la longueur totale

Intégral: longueur d\'un astroide

**image recadrée sur la figure, seule autorisée**

Posté par
Pirhore : Intégral: longueur d'un astroide 09-08-20 à 20:42

Citation :
En fait, de ce que je comprends, on multiplie la réponse par 4 pour avoir la longueur totale

donc
\begin{aligned} \\ \\ L=4\int_0^8 \sqrt{1+y'^2}dx \\ \\ \end{aligned}

Posté par
roses123456re : Intégral: longueur d'un astroide 09-08-20 à 21:42

Je rencontre une difficulté à un certain moment,

L = 4 [8]integrale[/0] [smb]racine[/1 + (dy/dx)^2] dx
L = 4 [8]integrale[/0] [smb]racine[/1 + ((-[smb]racine[/4-x^2/3] )/ (x^1/3))^2] dx
L =  4 [8]integrale[/0] [smb]racine[/1 + ((x^2/3 ) -4)/( x^2/3)] dx
L =  4 [8]integrale[/0] [smb]racine[/(x^2/3 + ((x^2/3 ) -4))/ (x^2/3)] dx
L =  4 [8]integrale[/0] [smb]racine[/(2*x^2/3 -4)/ (x^2/3)] dx

Je ne suis pas sûre d'être sur la bonne voie, et si oui, comment continuer...

Posté par
carpediemre : Intégral: longueur d'un astroide 09-08-20 à 22:07

x^2/3 n'est pas x^(2/3) ... et réciproquement ...

il faut lécrire l'intégrande sous la forme  k \sqrt {1 - [f(x)]^2}ou simplement k \sqrt {1 - f(x)} puis effectuer un changement de variable

Posté par
Pirhore : Intégral: longueur d'un astroide 09-08-20 à 22:11

sorry mais ce n'est pas clair pour moi déjà qu'après "racine" il te manque des balises [/smb]

remplace tes \dfrac{dy}{dx} par y'

si tu pouvais écrire tout ça en LaTex ça serait plus facile à lire

calcule:

1) y'

2) \sqrt{1+y'^2}

et montre tes résultats

Posté par
roses123456re : Intégral: longueur d'un astroide 09-08-20 à 23:25

Oui, bien sûr je vais recopier ce que j'avais écrit précédemment.
Pour la dérivée, cela m'a donné :
dy/dx = - (\sqrt{4- x^{2/3}} )/(x^{1/3})


L = 4 \int_{0}^{8} \sqrt{1 + (-(\sqrt{4 - x^{2/3}})/x^{1/3})^2}\ {dx}
L = 4 \int_{0}^{8} \sqrt{1 + ((-4 + x^{2/3})/x^{2/3})}\ {dx}
L = 4 \int_{0}^{8} \sqrt{((x^{2/3} -4 + x^{2/3})/x^{2/3})}\ {dx}
L = 4 \int_{0}^{8} \sqrt{((2x^{2/3} -4 )/x^{2/3})}\ {dx}

À partir de ce moment, je suis un peu bloqué.
Je ne suis pas sûr d'être sur la bonne voie.

Posté par
Pirhore : Intégral: longueur d'un astroide 10-08-20 à 08:02

ta dérivée est juste mais je l'écrirais ainsi

\large y'=-(4-x^{\frac{2}{3}})^\frac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{3}}}

d'où \large y'^2=(4-x^{\frac{2}{3}})\,x^{-\frac{2}{3}}

...

Posté par
Pirhore : Intégral: longueur d'un astroide 10-08-20 à 11:02

je n'avais pas vérifié tes calculs mais à la 2e ligne du calcul de L tu t'es trompé de signe en élevant au carré [(-)² devient +]

Posté par
roses123456re : Intégral: longueur d'un astroide 10-08-20 à 19:05

Merci beaucoup ! J'avais complètement passé par-dessus.

Posté par
Pirhore : Intégral: longueur d'un astroide 10-08-20 à 23:46

de rien  


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