les constantes s'intégrent en x et x^2 en x^3/3
ensuite il suffit juste de mettre les bornes

mouaich, mais seulement si la fonction a integrer  est x->1+x^2,
ce qui n'est , je pense , pas le cas, ici (x->(1+x^2)^(1/2)
!!!)

dans ce cas, puisque le calcul direct est impossible par integration par
parties (tu connais une integrale de x->1/(1+x^2) ???!!!)

vaudrait mieux utiliser la "methode des rectangles" avec un pas de 100 -
meme si n=1000 est meilleure mais calculatrice est plus longue ...
- et la tu trouvera une valeur approchee plus que convenable
( a 0.01 pres pour n=100 et a 0.001 pour n=1000)

voila, c'est tout

il faut faire un changement de variable:
on pose x=sinu
alors dx=cosudu

alors racine(1-x²)dx=rac(1-sin²)cosudu=rac(cos²)cosudu=
cos²udu
on avait les bornes entre 0 et 1 ca deveint entre 0 et pi/2

I=int(0,pi/2)(cos²u)du

et ca tu connais !!
tu linearise cos² et tu finit 'integrale

A+

Sauf que c :   (1+x²) et  non pas (1-x²)
  

poser x = tg(t)   (x = 0 -> t=0  et x = 1 -> t = Pi/4)

1 + x² = 1 + (sin²(t)/cos²(t)) = (cos²(t) + sin²(t))/cos²(t) = 1/cos²(t)

dx = dt/cos²(t)

S V(1+x²).dx = S dt/cos³(t)

Poser sin(t) = u    (t = 0 -> u = 0 et  t = Pi/4 -> u = 1/V2)
cos(t).dt = du    

S V(1+x²).dx = S du/(1-u²)²


S(de 0 à 1) V(1+x²).dx = S(de 0 à 1/V2)  du/(1-u²)²

Voila le problème ramené à l'intégrale d'une fonction rationnelle
qui ne devrait donc plus poser de problème.  
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Sauf distraction    

Merci JP, et autant pour moi, claire !!!
j'ai pris mes reves pour des realités!
A+

Pour aider un peu plus.

1/(1-u²)² = 1/[(1-u)²(1+u)²] = [(Ax+B)/(1-u)²] + [(Cx+D)/(1+u)²]

1/(1-u²)² = [(Ax+B)(1+u)² + (Cx+D)(1-u)²]/(1-u²)²

1 = (Ax+B)(1+u)² + (Cx+D)(1-u)²
On développe le second membre et on identifie les coefficients de même
puissance de  t -> on arrive au système:

A + C = 0
2A + B - 2C + D = 0
A + 2B + C - 2D = 0
B + D = 1

Qui résolu donne:
A = -1/4
B = 1/2
C =1/4
D = 1/2

S du/(1-u²)² = -(1/4). S [(u - 2)/(1-u)²]du + (1/4). S [(u+2)/(1+u)²
]du

avec  S [(u - 2)/(1-u)²]du  =  S [(u - 1)/(1-u)²]du -  S [1/(1-u)²]du

S [(u - 2)/(1-u)²]du  = - S [1/(u-1)] du  -  S [1/(1-u)²]du
cela c'est immédiat.

Et  avec  S [(u+2)/(1+u)² ]du = S [(u+1)/(1+u)² ]du + S [1/(1+u)² ]du

S [(u+2)/(1+u)² ]du = S [1/(1+u) ]du + S [1/(1+u)² ]du
cela c'est immédiat aussi.

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Vérifie mes calcul avant de continuer.