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Integrale

Posté par labougie (invité) 30-12-04 à 17:38

Bonjour, j'ai un souci avec l'intégrale ci-dessous, de 1 à 2 de 1/x * ((x-1)/x) dx
merci d'avance:

Posté par marc999 (invité)re : Integrale 30-12-04 à 19:34

Salut, voici la solution :

(1;2)(1/x*rac((x-1)/x)dx
=(1;2)(1/x*rac(1-1/x)dx
=(1;1/2)(u*rac(1-u)(-du/u²)
en posant le changement de variable u=1/x
=(1/2;1)(1/u*rac(1-u)du
=(1/rac(2);0)(v/(1-v²))(-2vdv)
en posant le changement de variable v=rac(1-u)
(Intégrales "abéliennes")
=2(0;1/rac(2))(v²/(1-v²))dv
=2(0;1/rac(2))((v²-1+1)/(1-v²))dv
=2(0;1/rac(2))(-1+1/(1-v²))dv
=2(0;1/rac(2))(-1+1/2*1/(1-v)+1/2*1/(1+v))fv
=2[-v-1/2*ln(1-v)+1/2*ln(1+v)](0;1/rac(2))
=2[-1/rac(2)-1/2*ln(1-1/rac(2))+1/2*ln(1+1/rac(2))]
=-rac(2)-ln(1-1/rac(2))+ln(1+1/rac(2))
=ln((rac(2)+1)/(rac(2)-1))-rac(2)
0.3485...

Voilà..................

Posté par labougie (invité)Remerciement 30-12-04 à 20:50

Merci Marc999.
D'un coup d'oiel rapide, ça me parle.
J'y retourne pour bien comprendre.
Encore merci.

Posté par
dad97 Correcteurre : Integrale 30-12-04 à 22:49

Bonsoir labougie,

Autre manière de faire :


Posons 3$\red t=\frac{1}{x} donc 3$dt=-\frac{1}{x^2}dx=-t^2dx donc 3$dx=-\frac{dt}{t^2}

3$\int_1^2\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x-1}{x}}dx=\int_1^2\frac{1}{x}\sqrt{1-\frac{1}{x}}dx=\int_1^{\frac{1}{2}}t\times \sqrt{1-t}\times(-\frac{dt}{t^2})=\int_{\frac{1}{2}}^1\frac{ \sqrt{1-t}}{t}dt

on pose alors : 3$\red t=sin^2(u) donc 3$dt=2cos(u)sin(u)du

3$\int_{\frac{1}{2}}^1\frac{ \sqrt{1-t}}{t}dt=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{1+sin^2(u)}}{sin^2(u)}\times 2cos(u)sin(u)du

3$=2\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos^2(u)}{sin(u)}

3$=2\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-sin^2(u)}{sin(u)}

3$=2\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{sin(u)}du-2\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}sin(u)du

or 3$-2\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}sin(u)du=-2\times[-cos(u)]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}=-\sqrt{2}

et pour 2\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{sin(u)}du

on pose 3$\red t=tan(\frac{u}{2}) donc 3$sin(u)=\frac{2t}{1+t^2} et 3$du=\frac{2dt}{1+t^2}

d'où 3$2\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{sin(u)}du=2\int_{tan(\frac{\pi}{8})}^1\frac{2dt}{1+t^2}\times {\frac{1+t^2}{2t}}=2\int_{tan(\frac{\pi}{8})}^1\frac{dt}{t}=2[ln(t)]_{tan(\frac{\pi}{8})}^{1}=-2ln(tan(\frac{\pi}{8}))

Conclusion :

4$\int_1^2\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x-1}{x}}dx=-\sqrt{2}-2ln(tan(\frac{\pi}{8}))\approx 0,3485336...

Salut

Posté par
dad97 Correcteurre : Integrale 30-12-04 à 22:51

essai pour voir si Balise mal fermée

Posté par
Nightmarere : Integrale 31-12-04 à 01:58

Balise refermée dad97


Jord

Posté par marcoL62 (invité)Integrale un peu chiante... 07-02-05 à 13:36

voilà j'ai un petit souci avec cette intégrale.
Je ne sais pas du tout comment m'y prendre

de - à + de [x².exp(x)] / [exp(x)+1]²

Merci d'avance


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