Essaye de passer en complexes...

formule d'euler : cosx=(exp(ix)-exp(-ix))/2

Bonsoir,

Je pose I_n l'intégrale à calculer.

pour n > 4, on a :
1/(cos t)ⁿ = 1/(cos t)² * 1/(cos t)^n-2.

Or 1/(cos t)² est la dérivée de tan t.

J'intègre par parties en posant u = 1/(cos t)^n-2 et v' = 1/(cos t)².

[...]
Après calculs
[...]

I_n = (2)^(n-2) - (n-2)I_n + (n-2)I_n-2

D'où I_n = (2)^(n-2)/(n-1) + (n-2)I_n-2/(n-1)

Bon, c'est une relation de récurrence qui peut permettre de connaître l'expression de I_n dès lors que l'on connaît les valeurs de I₁ et I₂.

I₁ = ln(2 + 1) et I₂ = 1.

Dans mon message précédent, j'ai mis que le raisonnement était valable pour n > 4, mais je pense qu'il marche dès que n3.

Bon travail.


Par contre, en lisant les deux messages de miaouzz et Al1, peut-être y a-t-il plus simple en passant par les complexes.

Si quelqu'un peut développer cette méthode, je suis intéressé.
A+