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Posté par Phymat23 (invité) 24-02-05 à 15:21

Bonjour à tous, j'ai un gros problème pour calculer la dérivée: f'(a).

En fait, je sais que je dois dériver par rapport à la variable a, j'ai donc dérivé par rapport à a DANS l'intégrale, mais je ne peux pas faire comme ça.

Je ne sais donc vraiment pas comment m'en sortir et cela me bloque pour tout le reste de mon problème.

Merci beaucoup pour votre aide

Intégrale

Posté par
franzre : Intégrale 24-02-05 à 18:34

Si tu peux dériver sans souci sous le signe intégrale du moment que la fonction ne présente pas de singularité dans l'intervalle considéré et que l'intégrale s'effectue sur un segment.
\array{f^'(a) & = & \Bigint_0^1 \frac 1 {1+t^2} \,\(-2a(1+t^2)e^{-a^2(1+t^2)}\)dt \\ & = & -2a \Bigint_0^1 e^{-a^2(1+t^2)}dt\\ & = & -2a\, e^{-a^2} \Bigint_0^1 e^{-(at)^2}dt \\ & = & -2 e^{-a^2} \Bigint_0^a e^{-u^2}du \\ & = & -\sqrt \pi e^{-a^2}\,erf(a)


                                        (erf(x)= \frac 2 {\sqrt \pi} \Bigint_0^x e^{-u^2}du )


Donc \array{f(a)-f(0) & = & \Bigint_0^a f^'(x)dx \\ & = & -\sqrt \pi \Bigint_0^a e^{-x^2}\,erf(x)dx \\ & = & -\sqrt \pi \[\frac 1 2 \,\frac{\sqrt \pi} 2 \, \(erf(x)\)^2\]_0^a \\ & = &- \frac \pi 4 \, erf(a)^2

Or f(0)=\Bigint_0^1 \frac 1 {1+t^2} dt = \[\rm{Arctan}( t) \]_0^1 = \rm{Arctan} (1) = \frac \pi 4


                            \LARGE \red f(a) = \frac \pi 4 \(1-\(erf(a)\)^2\)

Posté par Phymat23 (invité)re : Intégrale 24-02-05 à 23:46

Merci beaucoup Franz pour cette réponse, je ne pensais avoir le droit de dériver sous le signe intégrale....

Mais j'ai une question: ça veut dire quoi erf(a)? Je n'ai jamais entendu parler de cette notation.

Encore merci et bonne soirée.
Phymat

Posté par
Nightmarere : Intégrale 25-02-05 à 00:18

Franz l'a mis dans la parenthése au milieu de la page . erf est une fonction ( usuelle je ne sais pas ... )


jord

Posté par Phymat23 (invité)re : Intégrale 25-02-05 à 10:04

OK merci Nightmare, je n'avais justement pas compris ce que venait faire cette ligne.
Autant pour moi


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