Pour la première question, pose comme intégration par partie :
  u'(t)=exp(t/2) d'où u(t)=2*exp(t/2)
  v(t)=1-t d'où v'(t)=-1
elle se fait bien après

Pour In+1 de même avec cette fois çi, v(t)=(1-t)^(n+1) et alors v'(t)=-(n+1)(1-t)^n

tu écris chaque terme à partir de l'égalité 2 et tu fait la somme et en fait cela se supprime bien
exp(1/2)=Racine carrée(e)

salut
1.I(1)=(1/4)[0 a 1] (1-t)*exp(t/2).dt

Integration par parties :

u(t)=1-t        => u'(t)=-1
v'(t)=exp(t/2)  <= v(t)=2*exp(t/2)

donc I(1)=(1/4)*[-2 +2*[0 a 1] exp(t/2).dt]

et finalement I(1)=(1/4)*[-2+4*exp(1/2) - 4]

I(1)=-3/2 + exp(1/2)

2) c'est du meme style que 1.

I(n+1)=[1/(2^(n+2)*(n+1)!)]*[0 a 1] (1-t)^(n+1)*exp(t/2).dt

integration par parties :
u(t)=(1-t)^(n+1) => u'(t)=-(n+1)*(1-t)^n
v'(t)=exp(t/2)   <= v(t)=2*exp(t/2)

I(n+1)=[1/(2^(n+2)*(n+1)!)]* [ -2 +2(n+1)*[0 a 1](1-t)^n*exp(t/2).dt ]

I(n+1)=-1/[2^(n+1)*(n+1)!] + 1/[2^(n+1)*n!]*[0 a 1](1-t)^n*exp(t/2).dt ]

I(n+1)=-1/[2^(n+1)*(n+1)!] + I(n)


3) recurrence sur n.
pour n=1 je te laisse faire.

soit n>=1 tel que V(e)=1+1/2+...+1/(2^n*n!)+I(n)

on regarde pour n+1
1+1/2+....+1/(2^n*n!)+1/[2^(n+1)*(n+1)!]+I(n+1)=1+1/2+...+1/(2^n*n!) + I(n) d'apres question 2.
et d'apres hyptohese de recurrence on a :
1+1/2+...+1/(2^n*n!)+1/[2^(n+1)*(n+1)!]+I(n+1)=V(e)

donc pour tout n>=1 on a l'egalite :
V(e)=1+1/2+...+1/(2^n*n!)+I(n)

4) ou est A dans l'inegalite ?

Merci
pour la question 4, A et tout à la fin de mon inégalité, après 1/(2^(n)n!)

Si tu peux m'aider Minotaure,
merci, bye

c'est 0 =< I(n) =< A/(2^(n)n!) ?


I(n)=1/(2^(n+1)n!)*[0,1] (1-t)^n*exp(t/2).dt


reste a majorer H=(1/2)*[0,1] (1-t)^n*exp(t/2).dt


0<(1-t)^n=<1

0<exp(t/2)=<exp(1/2)

donc H =< (1/2) * exp(1/2)

je dirais donc que A=(1/2)*exp(1/2) (tout nombre reel superieur a celui la convient aussi)

je devine la fin de l'exo :
donc lim A/(2^n)n!)=0 car A reel positif independant de n.
    n->+oo

or on a pour tout n >= 1
0 =< I(n) =< A/(2^(n)n!)


puis theoreme des gendarmes donc lim I(n)=0
                                  n->+oo
non ?

Qu'est-ce que tu appelle H ?
j'ai du mal à comprendre

H est ceci (je l'ai ecris dans mon precedent message)

H=(1/2)*[0,1] (1-t)^n*exp(t/2).dt

j'ai reecris I(n). I(n)=1/(2^(n)n!)*H

reste a majorer ce H...

Ah oui ok
merci maintenant je vais me débrouiller.