t = tan(x)
t = 0 --> x = 0
t = 1 --> x = Pi/4

1+t² = 1+tan²(x) = 1/cos²(x)

1/(1+t²)² = cos^4(x)

dt = dx/cos²(x)

dt/(1+t²)² = (dx/cos²(x))*cos^4(x)  dx

S dt/(1+t²)² = S cos²(x) dx = (1/2). S (1+cos(2x)) dx = (1/2).(x + (1/2).sin(2x))

S(de0à1) dt/(1+t²)² = (1/2).[(x + (1/2).sin(2x))]de 0 à Pi/4

S(de0à1) dt/(1+t²)² = (1/2).(Pi/4 + (1/2)) = Pi/8 + (1/4)
----
Sauf distraction.  

si tu cherchais l'expression de la primitive en t :

J-P a trouvé Sdt/(1+t²)² = (1/2)(x + (1/2)sin(2x))

comme tg(x)=t => x = arctg(t)

sin2x= 2tg(x)/(1+tg²(x)) = 2t/(1+t²)

d'où

Sdt/(1+t²)² = (1/2)( arctg(t) + t/(1+t²) ) + K

Philoux

merci bcp,j'ai enfin compris,
par contre j'en ai un autre,mon prof nous a dit avec quoi on doit faire le changement de variable mais je m'en rapelle plus!!pfff,je suis tro à la rue!!
pouvez vous juste me dire par quoi je soi remplacer ici! je me débrouillerai pour le reste!



merci d'avance

bonjour

en remarquant que :

1/(x(x^3+1)²) = 1/x - x²/(1+x^3) -x²/(1+x^3)²

et observer que ( 1/(1+x^3) )' = -3x²/(1+x^3)²

Philoux

ce n'était pas ça qu'il nous avait donné il me semble mais c'est pas grave je vais essayer de faire avec ça!
merci bcp philoux et JP

Il y a 36 manières d'aborder le bidule.

Par exemple: poser x³+1 = t
x³ = t-1

3x²dx = dt
x² dx = (1/3)dt

[1/(x(x²+1)²)] dx = [x²/(x³(x²+1)²)] dx = x² dx /(x³(x²+1)²)

[1/(x(x²+1)²)] dx = (1/3)dt /((t-1).t²)

et avec: 1/((t-1).t²) = A/(t-1) + (Bt+C)/t²

1/((t-1).t²) = (At²+ (Bt+C)(t-1))/((t-1).t²)
1 = (At²+ (Bt+C)(t-1)
1 = At² + Bt²-Bt+Ct-C
1 = t²(A+B) + t(C-B) - C

En identifiant les 2 membres, on a le système:

A+B = 0
C-B = 0
-C = 1

--> C = -1, B = -1 et A = 1

1/((t-1).t²) = 1/(t-1) - (t+1)/t²

-->

[1/(x(x²+1)²)] dx = (1/3).[ dt/(t-1) - ((t+1)/t²)dt]

[1/(x(x²+1)²)] dx = (1/3).[ dt/(t-1) - (1/t) dt - (1/t²) dt]

S [1/(x(x²+1)²)] dx = (1/3).[ln|t-1| - ln|t| + (1/t)]
---
x³ = t-1
x = 1 --> t = 2
x = 2 --> t = 9

S(de 1 à 2) [1/(x(x²+1)²)] dx = (1/3).[ln|t-1| - ln|t| + (1/t)]de 2 à 9

S(de 1 à 2) [1/(x(x²+1)²)] dx = (1/3).[ln|8| - ln|9| + (1/9) - ln|1| + ln|2| - (1/2)]

S(de 1 à 2) [1/(x(x²+1)²)] dx = (1/3).[ln|8/9| + (1/9)  + ln|2| - (1/2)] = 0,062158...
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Sauf distraction.  

merci JP,je trouve le mm résultat que j'avais trouvé avec la façon de philoux, merci bien