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Wilfred1995 05-04-18 à 01:28

Bonsoir un coup de main s'ol vous plaît.
Soit
\vec{F}(x,y,z)=\left(e^y+2xz,\: xe^y+\frac{z}{1+y^2}, \: x^2+arctan{y} \right)
1- Le champ \vec{F}  dérive t-il d'un potentiel sur \mathbb{R}^3 ? Justifier votre réponse, et si oui , trouvez e potentiel.
2- calculer
\int_{\Gamma} \: \vec{F} \vec{dl}
Où
\Gamma=\left\{(x,y,z) \in \matbb{R}^3, \: \: \: x^2+y^2=1, \: \: z=0 \right\}

Posté par
Amadeus27re : Intégrale 05-04-18 à 02:35

Salut wilfried

je comprend pas grand chose a ton message désolé est ce un probleme de latex ou de comprehension

Mercii qd mm

Posté par
jsvdbre : Intégrale 05-04-18 à 09:53

Bonjour Wilfred1995.
On souhaite en fait savoir si \vec{F} est un gradient (En jargon maths, on veut savoir si on a affaire à une forme différentielle exacte).

Donc on veut savoir s'il existe G : \R^3 \rightarrow \R telle que \nabla G = \vec{F}

En notant \vec{F}(x;y;z)=(f_1(x,y,z);f_2(x,y,z);f_3(x,y,z)), il faut vérifier si :

\dfrac{\partial f_1}{\partial y}(x;y;z)= \dfrac{\partial f_2}{\partial x}(x;y;z) \texttt{ i.e. } \dfrac{\partial^2 G}{\partial x\partial y}(x;y;z)=\dfrac{\partial^2 G}{\partial y\partial x}(x;y;z)

\dfrac{\partial f_1}{\partial z}(x;y;z)= \dfrac{\partial f_3}{\partial x}(x;y;z)\texttt{ i.e. } \dfrac{\partial^2 G}{\partial x\partial z}(x;y;z)=\dfrac{\partial^2 G}{\partial z\partial x}(x;y;z)

\dfrac{\partial f_2}{\partial z}(x;y;z)= \dfrac{\partial f_3}{\partial y}(x;y;z)\texttt{ i.e. } \dfrac{\partial^2 G}{\partial y\partial z}(x;y;z)=\dfrac{\partial^2 G}{\partial z\partial y}(x;y;z)

Si oui, c'est ok ...

Posté par
Wilfred1995re : Intégrale 05-04-18 à 10:34

Amadeus27 @ 05-04-2018 à 02:35

Salut wilfried

je comprend pas grand chose a ton message désolé est ce un probleme de latex ou de comprehension

Mercii qd mm

jsvdb ça me paraissait un peu bizarre car je sais que quand on dit que \vec{F} dérive d'un potentiel \vec{C} lorsque \vec{F}= \vec{rot}\vec{C}.
Mais bon je vérifie ce que tu m'as donné !
Et s'il te plaît j'applique seulement car je ne sais pas comment tu as fait pour écrire les dérivés partielles si tu peux m'expliquer.
Merci

Posté par
jsvdbre : Intégrale 05-04-18 à 11:04

Alors en latex, \dfrac{\partial f_3}{\partial y}(x;y;z) s'écrit \dfrac{\partial f_3}{\partial y}(x;y;z)

Posté par
Wilfred1995re : Intégrale 05-04-18 à 11:55

jsvdb @ 05-04-2018 à 11:04

Alors en latex, \dfrac{\partial f_3}{\partial y}(x;y;z) s'écrit \dfrac{\partial f_3}{\partial y}(x;y;z)

Non pas ça en fait , comment savoir s'il faut faire ces égalités que tu as fait:
\dfrac{\partial f_1}{\partial y}(x;y;z)= \dfrac{\partial f_2}{\partial x}(x;y;z) \texttt{ i.e. } \dfrac{\partial^2 G}{\partial x\partial y}(x;y;z)=\dfrac{\partial^2 G}{\partial y\partial x}(x;y;z)

\dfrac{\partial f_1}{\partial z}(x;y;z)= \dfrac{\partial f_3}{\partial x}(x;y;z)\texttt{ i.e. } \dfrac{\partial^2 G}{\partial x\partial z}(x;y;z)=\dfrac{\partial^2 G}{\partial z\partial x}(x;y;z)

\dfrac{\partial f_2}{\partial z}(x;y;z)= \dfrac{\partial f_3}{\partial y}(x;y;z)\texttt{ i.e. } \dfrac{\partial^2 G}{\partial y\partial z}(x;y;z)=\dfrac{\partial^2 G}{\partial z\partial y}(x;y;z)
Et comment savoir s'il faut faire par rapport à x\: ou \: y \: ou \: z

Posté par
jsvdbre : Intégrale 05-04-18 à 12:53

Quelles sont les fonctions f_1,f_2 et f_3 ?

Posté par
Wilfred1995re : Intégrale 05-04-18 à 17:30

jsvdb @ 05-04-2018 à 12:53

Quelles sont les fonctions f_1,f_2 et f_3 ?

Ce sont les fonctions:
f_1(x,y,z)=e^y+2xz \\ f_2(x,y,z)=xe^y+\frac{z}{1+y^2} \\ f_3(x,y,z)=x^2+arctan{y}

Posté par
jsvdbre : Intégrale 05-04-18 à 17:36

Tu dérives la première par rapport à y et la seconde par rapport à x et tu regardes si ça coïncide.
Tu dérives la première par rapport à z et la troisième par rapport à x et tu regardes si ça coïncide.
Tu dérives la seconde par rapport à z et la troisième par rapport à y et tu regardes si ça coïncide.
Pour que F dérive d'un potentiel, il faut les trois égalités.

Posté par
Wilfred1995re : Intégrale 05-04-18 à 18:14

OK merci et pour déterminer \vec{G} comment on procède ? ?

Posté par
jsvdbre : Intégrale 05-04-18 à 18:22

G n'est pas un champ de vecteur mais application \R^3\rightarrow \R

Pour le trouver, il faut résoudre \dfrac{\partial G}{\partial x_i}(x;y;z)= f_i(x;y;z),~i=1,2,3.

Posté par
Wilfred1995re : Intégrale 06-04-18 à 16:58

Merci je m'y met et je dirais la reponse pour une vérification.
Merci

Posté par
Wilfred1995re : Intégrale 06-04-18 à 17:31

Un petit sourcis pourquoi deriver par rapport à x_i est- ce qu'il y a des x_i moi je pensais y \: et \: z. Et je voulais voir si je suis sur la route je suis passer des intégrales??

Posté par
Wilfred1995re : Intégrale 12-04-18 à 23:38

Bonsoir jsvdb je n'ai pu résoudre l'équation que tu m'as proposé ! !

Posté par
jsvdbre : Intégrale 13-04-18 à 00:02

On doit donc résoudre successivement :

\dfrac{\partial G}{\partial x}(x;y;z)= e^y+2xz

donc G(x;y;z) = xe^y+x^2z + C_1(y;z) où C_1 est une fonction qui ne dépend que de y et z

\dfrac{\partial G}{\partial y}(x;y;z)= xe^y+\dfrac{z}{1+y^2}

donc G(x;y;z) = xe^y+z\arctan(y) + C_2(x;z) où C_2 est une fonction qui ne dépend que de x et z

\dfrac{\partial G}{\partial z}(x;y;z)= x^2+\arctan (y)

donc G(x;y;z) = x^2z+z\arctan(y) + C_3(x;y) où C_3 est une fonction qui ne dépend que de x et y

On déduit donc :

C_1(y;z) = \arctan(y).z

C_2(x;z) = x^2.z

C_3(x;y) = xe^y

\texttt{D'où } \blue \boxed {G(x;y;z) = xe^y + x^2z+z\arctan(y) + K,~K \in \R }

Posté par
Wilfred1995re : Intégrale 13-04-18 à 11:06

Bonjour
Pour la question 2 je pense que c'est l'intégrale curviligne mais au niveau du paramétrage je suis bloquer pour déterminer les bornes!

Posté par
larrechre : Intégrale 13-04-18 à 11:27

Bonjour,

Comme le champ dérive d'un potentiel, le calcul est vite fait

Posté par
Wilfred1995re : Intégrale 13-04-18 à 11:49

larrech @ 13-04-2018 à 11:27

Bonjour,

Comme le champ dérive d'un potentiel, le calcul est vite fait

Je ne comprend pas Larrech

Posté par
Wilfred1995re : Intégrale 13-04-18 à 11:51

On utilise G(x,y,z)

Posté par
larrechre : Intégrale 13-04-18 à 12:33

Lorsqu'un champ de vecteurs dérive d'un potentiel, sa circulation le long d'un contour fermé est nulle.

Posté par
lafol Moderateurre : Intégrale 13-04-18 à 15:38

Bonjour
1) attention à ne pas confondre potentiel et potentiel vecteur
2) variante à la méthode de jsvdb :

on cherche G tel que :
a) \dfrac{\partial G}{\partial x} = e^y + 2xz

on a donc G(x,y,z) = xe^y + x^2z + C(y,z) et donc \dfrac{\partial G}{\partial y} = xe^y + \dfrac{\partial C}{\partial y}

b) \dfrac{\partial G}{\partial y} = xe^y + \dfrac{z}{1+y^2}

autrement dit compte tenu du a), \dfrac{\partial C}{\partial y}= \dfrac{z}{1+y^2}
on a donc C(y,z) = z{\rm Arctan}\; y + K(z) et donc G(x,y,z) = xe^y + x^2z +z{\rm Arctan}\; y + K(z) , donc \dfrac{\partial G}{\partial z} =x^2 +{\rm Arctan}\; y + K'(z)

c) \dfrac{\partial G}{\partial z} = x^2 +{\rm Arctan}\; y

autrement dit compte tenu du b), K'(z)=0 : K est donc une "vraie" constante, et G(x,y,z) = xe^y + x^2z +z{\rm Arctan}\; y + K

En procédant ainsi, pas de prise de tête pour harmoniser les "constantes" (encore, ici c'était assez simple), et pas besoin de faire les vérifications a priori sur les dérivées croisées : si les conditions ne sont pas remplies, on s'en rend compte en trouvant une C(y,z) dans laquelle il reste des x, ou une K(z) dans laquelle il reste des x et/ou des y ....

Posté par
larrechre : Intégrale 13-04-18 à 15:55

@Wilfred1995

Afin d'éviter toute confusion, tu peux regarder là


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