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Intégrale

Posté par
jatida
14-10-18 à 12:00

Bonjour,  je bloque sur une question d'un exercice de maths... Je dois :

-Donner la définition de l'existence de l'intégrale de a vers +l'infini de f(x) dx.

-Discuter en fonction des valeurs de alpha de la convergence de l'intégrale de 1 vers +l'infini de (dx) / alpha.

-Si cette dernière converge, je dois donner sa valeur.

Merci d'avance à ceux qui m'apporteront leur aide !
Bon dimanche

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 12:04

Bonjour, je doute que tu ais vraiment voulu écrire \int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{\alpha}

\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{x^\alpha} peut-être ?

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 12:07

Ah oui pardon j'ai fait une erreur ! Je suis désolée, c'est bien (dx) /(xalpha

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 12:10

Je suppose que tu sais répondre à la première question ?
Elle s'intègre ta fonction donc tu devrais pouvoir facilement voir quand ça converge ou pas ?

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 12:12

L'intégrale existe sur la fonction f est supérieure à 0 sur [a;+l'infini] selon moi

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 12:26

Citation :
L'intégrale existe sur la fonction f est supérieure à 0 sur [a;+l'infini] selon moi

tu crois vraiment que toute intégrale de fonction positive prise entre a et l'infini converge ?? essaye f(x) = 1 par exemple

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 12:33

Je suis perdue... Le début de la question est de donner la définition de l'existence de l'intégrale mais je ne vois pas quand l'intégrale peut ne pas exister à moins que la fonction ne soit nulle...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 12:50

Elle n'existe pas si elle diverge, c.a.d si elle devient infinie quand sa borne supérieure tend vers l'infini.
par exemple f(x) = 1 ou f(x) = x ça diverge parce que \int_1^{\infty} dx c'est infini.

C'est ça la définition, l'intégrale  \int_a^{+\infty} f(x) dx existe si  \int_a^b f(x) dx converge vers une limite quand b tend vers l'infini.

A toi maintenant ! réfléchis quand est-ce que \int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{x^\alpha} converge ou diverge ?
déjà par exemple qu'en penses-tu si < 0, si = 1 ? si = 2 ?

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 12:54

Je pense qu'elle converge quand a<1 et qu'elle diverge quand a>1.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 13:05

Perdu ! c'est exactement le contraire.

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 13:16

Ah noooon j'ai mal mis mes signes mais c'est ce que j'avais trouvé en cherchant la valeur de l'intégrale sur 1 vers A (quand A tend vers +l'infini)

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 13:22

A bon ? et c'est quoi la valeur de l'intégrale ?

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 13:27

(1/1-a)*(A^(1-a)-1)

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 13:42

oui OK et donc il faut que tu discutes suivant les valeurs de a ce que devient cette expression quand A tend vers l'infini.

(et puis traiter à part le cas a=1 car cette expression n'est plus valable dans ce cas)

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 14:56

Donc si je résume:
-J'explique quand la fonction existe (c-a-d quand elle diverge et converge)
-j'explique sur quels intervalles elle diverge et converge
-je trouve la valeur de l'intégrale
-je trouve les limites en + et- l'infini
-j'explique ce qu'il se passe quand x=1
Je n'ai rien oublié ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 14:57

Si le principal, répondre à la question "Discuter en fonction des valeurs de alpha de la convergence de l'intégrale".

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 15:21

Je me corrige

Donc si je résume:
-J'explique quand la fonction existe (c-a-d quand elle diverge et converge)
-j'explique sur quels intervalles elle diverge et converge (en fonction de alpha)
-je trouve la valeur de l'intégrale
-je trouve les limites en + et- l'infini
-j'explique ce qu'il se passe quand  alpha=1
Je n'ai rien oublié ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 15:23

Si le principal, répondre à la question "Discuter en fonction des valeurs de alpha de la convergence de l'intégrale".

C'est pas "-j'explique sur quels intervalles elle diverge et converge " l'intervalle on le connait c'est entre a et l'infini. c'est pour quelles valeurs de alpha elle converge ou diverge.

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 15:46

Je me REcorrige

Donc si je résume:
-J'explique quand la fonction existe (c-a-d quand elle diverge et converge)
-je trouve la valeur de l'intégrale
-j'explique pour quelles valeurs de alpha elle diverge et converge
-je trouve les limites en + et- l'infini
-j'explique ce qu'il se passe quand  alpha=1
Je n'ai rien oublié ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 16:03

Oui et bien fais le ! pour quelles valeurs de alpha elle diverge et converge ?

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 16:06

D'accord je le lance.
Elle diverge lorsque que alpha est compris entre -l'infini et 1 (exclu)
Elle converge lorsque alpha est compris entre 1 (exclus) et +l'infini

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 16:13

oui OK
Et pour alpha = 1 ? tu n'as pas traité le cas.

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 16:13

Et je dois justifier comment j'ai trouvé pour quelles valeurs de alpha l'intégrale converge et diverge ?

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 16:14

Et bien pour a=1
L'intégrale vaut 1 quelque soit la valeur de x

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 16:16


une primitive de 1/x c'est ... ?

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 16:20

Bah c'est ln(x)

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 16:25

Bah ça va diverger aussi du coup ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 16:28

oui

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 16:40

Ah bah ça divergeait lorsque que alpha était compris entre -l'infini et 1 inclus du coup

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 16:43

oui

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 16:47

Et dernière chose:
-l'intégrale converge vers - 1 lorsque a appartient à]-1;+l'infini[
L'intégrale diverge vers +l'infini lorsque a appartient à]-l'infini;1]
?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 17:23

non déjà c'est ] 1;+l'infini[ l'intervalle de a pour que ça converge.
et puis l'intégrale ne vaut pas -1
(ça risque pas ! l'intégrale d'une fonction positive qui devient négative )

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 17:28

Désolée j'ai travailler non stop toute la semaine, j'ai le cerveau ramolli 😕🧠
Il n'y a pas moyen d'envoyer une photo de ce que j'ai rédigé sur cette plateforme ?
Et j'ai du mal à calculer la limite d'une expression à plusieurs inconnues..

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 17:29

Travaillé*

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 17:33

tu avais écris (1/(1-a)) *(A^(1-a)-1) le terme A^(1-a) tend vers 0 reste -1/(1-a) = 1/(a-1)
qui est bien positif.

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 17:56

Mais je dois calculer la limite en 1 et +l'infini ou en-l'infini et +l'infini ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 18:37

l'intégrale est entre 1 et +l'infini, c'est ce que dit ton énoncé.

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 18:45

Je trouve que la limite en 1 vaut +l'infini et que la limite en +l'infini vaut-1

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 18:45

J'en déduis que l'intégrale converge vers-1 non ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 18:46

non. je viens de te faire le calcul et on a trouvé 1/(a-1) . Que veux tu de plus ?

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 18:52

OK ok donc l'intégrale converge vers 1/(a-1).

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 18:55

On peut même dire qu'elle vaut 1/(a-1).

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 18:57

C'est faux si je m'arrête à elle converge vers 1/(1-a) parce que je ne comprendrais pas pourquoi je mettrais que c'est aussi sa valeur alors qu'en la calculant plus haut j'ai trouvé (1/(1-a)) *(A^(1-a)-1)

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale 14-10-18 à 19:22

Récapitulons, Tu peux dire que (pour a>1 évidemment) :

\int_1^A \dfrac{dx}{x^a} = \dfrac{1}{1-a} (A^{1-a}-1)}

\lim_{A-> +\infty} \int_1^A \dfrac{dx}{x^a} = \dfrac{1}{a-1}

ou encore que

 \int_1^{+\infty} \dfrac{dx}{x^a} = \dfrac{1}{a-1}

Les 3 sont justes.

Posté par
jatida
re : Intégrale 14-10-18 à 19:35

D'accord ! Je vous remercie infiniment de votre aide !



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