Niveau terminale

Integrale

Posté par
bouchaib 26-05-19 à 00:23

Bonsoir.
Je voudrais l'integrale de : (sin(x))^n entre [0; pi/2].
Merci par avance .
Moi bloqué. J'ai essayé l'integration par partie.

Posté par re : Integrale 26-05-19 à 00:44

Bonjour

Toi être sûr ?

c'est loin d'être une intégrale du niveau de terminale de ce que je me suis renseigné
Il y a d'autres informations dans le contexte de cet exercice ?

Posté par re : Integrale 26-05-19 à 00:48

Bonsoir,
C'etait une question donnée au concours d'entrée pour une ecole d'etudes superieures.
Voilà mais donnée pour trier des bacheliers.
Merci

Posté par re : Integrale 26-05-19 à 02:33

A un niveau terminal, ça me parait bien difficile, même dans un concours...

Bon, alors essayons tout de même, en considérant que tu connaisses l'intégration par partie.

Je note l'intégrale sans borne pour alléger l'écriture et la lecture.

$\int \sin(x)^ndx&=\int \sin(x)^{n-1} \times \sin(x)^n &= \sin(x)^{n-1}\times(-\cos(x))-\int (-\cos(x))(n-1) \sin(x)^{n-2}\cos(x)dx &=- \sin(x)^{n-1}\cos(x)+(n-1)\int \cos(x)^2\sin(x)^{n-2}dx$

Intéressons nous à l'intégrale :

$(n-1)\int (1-\sin(x)^2)\sin(x)^{n-2}dx &=(n-1)\int (\sin(x)^{n-2}-\sin(x)^n)dx &=(n-1)\int \sin(x)^{n-2}dx-(n-1)\int \sin(x)^ndx$

Donc :

$\int \sin(x)^ndx &= -\sin(x)^{n-1}\cos(x)+(n-1)\int \sin(x)^{n-2}dx-(n-1)\int \sin(x)^{n}dx$

En ajoutant le dernier terme de la somme et en simplifiant un peu tu arriveras à :

$\int \sin(x)^ndx=\frac{- \sin^{n-1}\cos(x)}{n}+\frac{n-1}{n}\int \sin(x)^{n-2}dx$

Ca me parait bien difficile d'aller plus loin.

Posté par re : Integrale 26-05-19 à 11:32

salut

je ne comprends pas trop ton calcul ...

pour info c'est une intégrale de Wallis (et Futuna) voir sur le net ...

$I_n = \int_0^{\frac {\pi} 2} \sin^n x dx = \int (1 - \cos^2 x)\sin^{n - 2} x dx = I_{n - 2} - \dfrac 1 {n - 1} \int \cos x [(n - 1) \cos x \sin^{n - 2} x ]dx = I_{n - 2} + \dfrac 1 {n - 1} I_n$ grace à une IPP

donc $I_n = \dfrac {n - 1} {n - 2} I_{n - 2}$

et je ne comprends pas où j'ai fait une erreur ... car on doit trouver $I_n = \dfrac {n - 1} n I_{n - 2} \iff I_{n + 2} = \dfrac {n + 1} {n + 2} I_n$

on a alors :

$I_2 = \dfrac 1 2 I_0 \\ I_2 = \dfrac 3 4 I_2 \\ I_4 = \dfrac 5 6 I_2 \\ ... \\ I_n = \dfrac {n - 1} n I_{n - 2}$

et on multiplie membre à membre

et de même pour les termes de rang impair ...

il ne reste alors qu'à calculer I_0 et I_1 ....

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