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Intégrale

Posté par
Samsco
28-07-20 à 01:56

Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

Calculer K=\int_{\alpha}^{0}{\ln(1-x)}dx en fonction de ( ≠0) à l'aide d'une intégration par partie

Reponses:

Soit f(x)=ln(1-x) f'(x)=-1/(1-x)
et g'(x)=1 , g(x)=x

K=[f(x).g(x)]-\int_{\alpha}^{0}{f'(x).g(x)} dx
 \\ 
 \\ K=[x\ln(1-x)]_{\alpha}^{0}+\int_{2}^{0}{\dfrac{x}{1-x}}dx
Je bloque ici

Posté par
Zormuche
re : Intégrale 28-07-20 à 04:08

Bonsoir

tu peux réécrire   \dfrac{x}{1-x}=\dfrac{-(1-x)+1}{1-x}=-1+\dfrac{1}{1-x}

Posté par
Pirho
re : Intégrale 28-07-20 à 09:14

Bonjour,

attention quand même n'oublie pas que tu as un ln...

de plus c'est quoi ce 2, comme borne, à l'avant dernière ligne de ton post

Posté par
carpediem
re : Intégrale 28-07-20 à 14:48

salut

K = \int_a^0 \ln (1 - x)dx

la condition a \ne 0 est inutile et il n'y a aucun pb si a = 0 ...

par contre il y a bien une condition nécessaire sur a ...

Posté par
Samsco
re : Intégrale 30-07-20 à 15:08

carpediem @ 28-07-2020 à 14:48


par contre il y a bien une condition nécessaire sur a ...


Oui je vois , a<0

Pirho @ 28-07-2020 à 09:14


de plus c'est quoi ce 2, comme borne, à l'avant dernière ligne de ton post


Faute de frappe

Posté par
Samsco
re : Intégrale 30-07-20 à 15:20

K=[x\ln(1-x)]_{\alpha}^{0}
 \\ +\int_{\alpha}^{0}(-1+\dfrac{1}{1-x})
 \\ =-\alpha\ln(1-\alpha)+[-x-ln|x|]_{\alpha}^{0}
 \\ =-\alpha\ln(1-\alpha)+(

Je crois qu'il y a une erreur dans L'exo

Posté par
carpediem
re : Intégrale 30-07-20 à 15:25

connais-tu une primitive de x --> ln x ?

Posté par
Samsco
re : Intégrale 30-07-20 à 19:46

Oui !

(xln x-x)'=ln x

Posté par
carpediem
re : Intégrale 30-07-20 à 20:12

or ici à la place de x tu as u(x) = 1 - x ... donc qu'aurais-tu envie de faire ?

Posté par
Samsco
re : Intégrale 31-07-20 à 09:24

carpediem @ 30-07-2020 à 20:12

or ici à la place de x tu as u(x) = 1 - x ... donc qu'aurais-tu envie de faire ?


J'ai pas utiliser la primitive de la fonction ln x , elle n'est pas vu en cours , je l'ai connu dans un exo. La méthode d'intégration par partie est utilisée pour faire ressortir des fonctions élémentaire dont on connaît la primitive ducoup ...

Posté par
carpediem
re : Intégrale 31-07-20 à 13:00

certes mais justement !!! je t'y conduis tout doucement !!

on aurait donc envie de prendre u ln u - u comme primitive (à voir si ça marche plus ou moins : ie à une constante près et je t'invite à vérifier !!)

donc reprenons ta fonction : \ln (1 - x) \ln [h(x)]= - [- \ln (1 - x)] = -1 \times [-\ln [h(x)]

et maintenant pour l'intégration par partie je pose :

u(x) = -\ln (1 - x) $ donc $ u'(x) = ...
 \\ 
 \\ v'(x) = -1 $ donc $ v(x) = ...

Posté par
Samsco
re : Intégrale 01-08-20 à 12:32

carpediem @ 31-07-2020 à 13:00


donc reprenons ta fonction : \ln (1 - x) \ln [h(x)]= - [- \ln (1 - x)] = -1 \times [-\ln [h(x)]

et maintenant pour l'intégration par partie je pose :

u(x) = -\ln (1 - x) $ donc $ u'(x) =\dfrac{1}{1-x}
 \\ 
 \\ v'(x) = -1 $ donc $ v(x) = -x


Mais ça ne fait pas intervenir la primitive de la fonction ln(1-x)

Posté par
carpediem
re : Intégrale 01-08-20 à 13:27

ben non ... à cause de l'IPP ... mais l'idée derrière c'et de connaitre celle de ln x ou de ln u ..

très bof pour v ... il y a beaucoup mieux ... et surtout pour faire le lien avec mon chemin détourné ...

Posté par
fetader
re : Intégrale 01-08-20 à 13:50

Une division euclidienne résout le problème à la fin !

Posté par
Samsco
re : Intégrale 01-08-20 à 17:15

K=[x\ln(1-x)]_{\alpha}^{0}+[-x-\ln(1-x)]_{\alpha}^{0}
 \\ 
 \\ =(-\alpha\ln(1-\alpha))+(-\alpha-\ln(1-\alpha))
 \\ 
 \\ K=-\alpha-[\ln(1-\alpha)](\alpha+1)

Posté par
carpediem
re : Intégrale 01-08-20 à 18:02

carpediem @ 01-08-2020 à 13:27

ben non ... à cause de l'IPP ... mais l'idée derrière c'et de connaitre celle de ln x ou de ln u ..

très bof pour v ... il y a beaucoup mieux ... et surtout pour faire le lien avec mon chemin détourné ...

Posté par
Samsco
re : Intégrale 01-08-20 à 19:29

très bof pour v..

J'ai pas compris ce que vous voulez dire !

Posté par
carpediem
re : Intégrale 01-08-20 à 21:14

vu cela :

Samsco @ 30-07-2020 à 19:46

(xln x - x)' = ln x
et cela :
carpediem @ 30-07-2020 à 20:12

or ici à la place de x tu as u(x) = 1 - x ... donc qu'aurais-tu envie de faire ?
il est évident que je choisis la primitive v(x) = 1 - x de v'(x) = -1 !!!



PS : et à toi de voir ce qui se passe ensuite ...

Posté par
Samsco
re : Intégrale 01-08-20 à 22:30

carpediem @ 31-07-2020 à 13:00


u(x) = -\ln (1 - x) $ donc $ u'(x) = \dfrac{1}{1-x}
 \\ v'(x) = -1 $ donc $ v(x) = 1-x

K=[-(1-x)\ln(1-x)]_{\alpha}^{0}+\int_{\alpha}^{0}1~dx
 \\ 
 \\ K=[-(1-x)\ln(1-x)]_{\alpha}^{0}+[x]_{\alpha}^{0}
 \\

Posté par
carpediem
re : Intégrale 02-08-20 à 12:31

ou encore K = [-(1 - x) \ln (1 - x)]_a^0 - [1 - x]_a^0 qui est de la forme -u \ln u - u = - (u \ln u + u) qui ressemble étrangement à ...



mais ça déconne ... parce que tu as oublié un moins !!! ou plutôt je t'ai enduit d'erreur !!!

carpediem @ 31-07-2020 à 13:00

\ln (1 - x) = - [- \ln (1 - x)] = {\red -1} \times [-\ln (1 - x)]

et maintenant pour l'intégration par partie je pose :

u(x) = \ln (1 - x) $ donc $ u'(x) = ...
 \\ 
 \\ v'(x) = -1 $ donc $ v(x) = ...


en gardant le -1 en facteur du tout ...

je te laisse corriger ...

Posté par
Samsco
re : Intégrale 02-08-20 à 14:27

Ben non ! Je crois que je ne me suis pas trompé , j'ai bien tenu compte de ce signe " - " .

Posté par
carpediem
re : Intégrale 02-08-20 à 15:04

oui j'ai dit que j'ai commis une petite erreur ...

regarde ma dernière définition de u ...

Posté par
Samsco
re : Intégrale 02-08-20 à 16:37

D'accord

K=[-u(x).v(x)]_{\alpha}^{0}-\int_{\alpha}^{0}u'(x).v(x)~dx
 \\ 
 \\ K=[-(1-x)\ln(1-x)]_{\alpha}^{0}-\int_{\alpha}^{0}-(1-x)*\dfrac{1}{1-x}~dx
 \\ 
 \\ K=[-(1-x)\ln(1-x)]_{\alpha}^{0}-\int_{\alpha}^{0}-1~dx
 \\ 
 \\ K=[-(1-x)\ln(1-x)]_{\alpha}^{0}-[1-x]_{\alpha}^{0}

Posté par
carpediem
re : Intégrale 02-08-20 à 21:03

non le -1 est en facteur de tout ... tu peux même le mettre à la poubelle dans un premier temps ...

Posté par
Samsco
re : Intégrale 02-08-20 à 21:54

K=-\left([u(x).v(x)]_{\alpha}^{0}+\int_{\alpha}^{0}u'(x).v(x)~dx\right)
 \\ 
 \\ K=-\left([(1-x)\ln(1-x)]_{\alpha}^{0}+\int_{\alpha}^{0}-(1-x)*\dfrac{1}{1-x}~dx\right)
 \\ 
 \\ K=-\left([(1-x)\ln(1-x)]_{\alpha}^{0}+\int_{\alpha}^{0}-1~dx\right)
 \\ 
 \\ K=-\left([(1-x)\ln(1-x)]_{\alpha}^{0}+[1-x]_{\alpha}^{0}\right)

Posté par
carpediem
re : Intégrale 03-08-20 à 12:28

il y a une faute de signe dans l'IPP :

Samsco @ 02-08-2020 à 21:54

K=-\left([u(x).v(x)]_{\alpha}^{0} {\red -} \int_{\alpha}^{0}u'(x).v(x)~dx\right)
 \\ 
 \\ K=-\left([(1-x)\ln(1-x)]_{\alpha}^{0}{\red -} \int_{\alpha}^{0}-(1-x)*\dfrac{1}{1-x}~dx\right)
 \\ 
 \\ K=-\left([(1-x)\ln(1-x)]_{\alpha}^{0}{\red -}\int_{\alpha}^{0}-1~dx\right)
 \\ 
 \\ K=-\left([(1-x)\ln(1-x)]_{\alpha}^{0}{\red -}[1-x]_{\alpha}^{0}\right)
et on retrouve bien la formule u \ln u - u ...

Posté par
Samsco
re : Intégrale 03-08-20 à 16:21

Donc le but de l'intégration par partie est de retrouver la primitive de la fonction de départ.

Posté par
carpediem
re : Intégrale 03-08-20 à 16:37

non ce n'est pas le but .... c'est bien de trouver une primitive de ln (1 - x) ... mais si tu connais une primitive de ln x alors tu vois que tu retrouves la même forme ...

Posté par
Samsco
re : Intégrale 03-08-20 à 20:30

Ah d'accord , merci

Posté par
carpediem
re : Intégrale 03-08-20 à 21:06

de rien

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