Bonjour je viens d'entamer le chapitre sur les intégrales et là franchement j'arrive pas à resoudre cet exercice si desx explications sont les bienvenues Merci d'avance
Énoncé
Soit f une fonction continue sur [0 ;1] telle que ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1/2
Montrer qu'il existe un point c de [0 ;1] tel que f(c) = c.
Bonjour, je suppose que ton intégrale va de 0 à 1.
Pose g(x) = f(x)-x et calcule
puis utilise le fait qu'une fonction continue qui a une intégrale nulle sur un intervalle a forcement une partie positive et une partie négative et tâche de conclure.
Ici l integrale de g(x) est nulle donc puis je en conclure que g(x) est nulle car je pense que l'aire sous la courbe est nulle si la fonction est nulle
Donc elle est continue et strictement monotone
D apres le théorème des valeurs intermédiaires il existe un unique reel c tel que g(c) = 0 impliquant que f(c) = c
oui, elle est continue, strictement monotone je ne vois pas pourquoi ?
mais surtout elle prend des valeurs négatives et positives et donc puisqu'elle est continue c'est qu'elle coupe forcement l'axe des x une ou plusieurs fois.
Donc elle s annule forcément quelque part si je comprend bien ..reste plus qu'à conclure..pour le strictement monoton j ai cru qu'ils ont dit qu'il existe un unique c
Tes explications m'ont beaucoup aidé merci beaucoup 😊
non, l'énoncé ne demande pas que c soit unique.
(et heureusement parce qu'on doit pouvoir construire un contre exemple avec une fonction qui s'annule plusieurs fois).
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