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Integrale

Posté par
Amar252
05-11-20 à 14:01

Bonjour je viens d'entamer le chapitre sur les  intégrales et là franchement j'arrive pas à resoudre cet exercice si desx explications  sont les bienvenues  Merci d'avance

Énoncé

Soit f une fonction continue sur [0 ;1] telle que ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1/2
Montrer qu'il existe un point c de [0 ;1] tel que f(c) = c.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Integrale 05-11-20 à 14:05

Bonjour, je suppose que ton intégrale va de 0 à 1.
Pose g(x) = f(x)-x et calcule \int_0^1 g(x) dx
puis utilise le fait qu'une fonction continue qui a une intégrale nulle sur un intervalle a forcement une partie positive et une partie négative et tâche de conclure.

Posté par
Amar252
re : Integrale 05-11-20 à 14:31

Ici l integrale de g(x) est nulle donc puis je en conclure que g(x) est nulle car je pense que   l'aire sous la courbe est nulle si la fonction est nulle

Posté par
Glapion Moderateur
re : Integrale 05-11-20 à 15:51

Citation :
donc puis je en conclure que g(x) est nulle car je pense que l'aire sous la courbe est nulle si la fonction est nulle


Et non pas du tout. Les aires sous la courbe sont comptées négativement quand la fonction est négative donc si une intégrale est nulle ça ne veut pas dire que la fonction est nulle , ça veut dire qu'il y a autant d'aire positive que d'aire négative.
exemple \int_{-1}^{+1} xdx  = 0 et la fonction f(x) = x n'est pas nulle.

Par contre ce que tu peux conclure pour la fonction g(x) c'est qu'elle a forcement des valeurs positives et négatives (sinon les aires ne se compenseraient pas).
Et donc ? théorème des valeurs intermédiaires ?

Posté par
Amar252
re : Integrale 05-11-20 à 17:35

Donc elle est continue et strictement  monotone  
D apres le théorème des  valeurs intermédiaires   il existe un unique reel  c tel que g(c) = 0 impliquant que f(c) = c

Posté par
Glapion Moderateur
re : Integrale 05-11-20 à 19:00

oui, elle est continue, strictement monotone je ne vois pas pourquoi ?
mais surtout elle prend des valeurs négatives et positives et donc puisqu'elle est continue c'est qu'elle coupe forcement l'axe des x une ou plusieurs fois.

Posté par
Amar252
re : Integrale 05-11-20 à 19:46

Donc elle s annule forcément  quelque part si je comprend  bien ..reste plus qu'à conclure..pour le strictement monoton j ai cru qu'ils ont dit qu'il existe  un unique  c
Tes explications m'ont beaucoup  aidé merci beaucoup  😊

Posté par
Glapion Moderateur
re : Integrale 05-11-20 à 20:02

non, l'énoncé ne demande pas que c soit unique.
(et heureusement parce qu'on doit pouvoir construire un contre exemple avec une fonction qui s'annule plusieurs fois).

Posté par
Amar252
re : Integrale 05-11-20 à 20:13

D'accord  je comprend mieux encore merci glapion



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