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Posté par
FerreSucre 18-12-20 à 14:03

Bonjour je ne suis pas venue ici depuis un moment et la dernière fois je faisais beaucoup d?intégrales avec vous, cependant j?ai un peu oublié certaines bases car ça date de 8 mois. Voilà j?aimerai bien reprendre.

N?auriez vous pas quelques intégrales pour remettre à jour un peu ça ^^ ? (J?avais vue les changements de variables (trigonométrique ou non) les fractions partielles, IPP). Je me souviens plus de grand chose mais ça va m?obliger à rechercher un peu x)

Merci beaucoup ? Bonne journée

**forum modifié**

Posté par
lyceenre : Intégrale 18-12-20 à 15:29

Bonjour,

Je te propose de calculer une primitive de la fonction suivante :

f(x)=6sin(2x)cos^3(2x)

Anecdote :  j'ai eu cet exercice lors d'un DST il y a près de 5 ans quand j'étais en terminale. Et j'avais malheureusement fait une belle boulette.

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 18-12-20 à 17:25

D'accord merci j'vais y réfléchir faut juste que je termine un autre problème avant ^^.
Je verrai ça ce soir sûrement 😋

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 18-12-20 à 23:57

Primitive assez basique ducoup mais niquel pour remettre un peu d'ordre dans les dérivés de cos^n(x)  ^^.

Je pose une integrale :

I = \int_{}^{}{6cos^3(2x)sin(2x)dx}

Changement de variable :

u = 2x
dx = \dfrac{du}{2}

I = \int_{}^{}{3cos^3(u)sin(u)dx}

Or \dfrac{d}{dx} cos^n(x) = -ncos^{n-1}(x)sin(x)

Donc
I = -\dfrac{3}{4}cos^4(u)
I = -\dfrac{3}{4}cos^4(2x)

Voilà j'espère ne pas avoir fait d'erreur, j'attends impatiemment une autre merci.

Posté par
HelperEddyre : Intégrale 19-12-20 à 01:52

Oublie pas ta constante d'intégration

Sinon, voilà deux intégrales :

-\int_{ }^{ }\cos^3x\sin^2x\ dx
-\int x^{2} \sin (\pi x) d x

Donne moi des nouvelles

Posté par
lyceenre : Intégrale 19-12-20 à 08:25

Un autre petit exercice tout simple : trouver la primitive de f(x)=ln(x).

Posté par
lyceenre : Intégrale 19-12-20 à 08:26

Et tu as trouvé la forme générale primitive de 6sin(2x)cos^3(2x)

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 19-12-20 à 11:37

Ah oui la constante d'intégration j'avais oublié mdr.  Je fais celle de lyceen et j'attaque la tienne HelperEddy :

I = \int_{}^{}{ln(x)dx}

Avec les IPP on a :

I = [xln(x)]-\int_{}^{}{\dfrac{1}{x}*xdx}
I = xln(x)-x

Voilà lycéen

HelperEddy :

u = \pi x
\dfrac{du}{\pi} = dx
\dfrac{u²}{\pi²} = x²

I = \int_{}^{}{x²sin(\pi x)dx} = \dfrac{1}{\pi^3}\int_{}^{}{u²sin(u)du}

Avec première IPP on a :

I = \dfrac{1}{\pi^3}([ -u²cos(u)] + \int_{}^{}{2ucos(u)du})

Deuxième IPP :

I = \dfrac{1}{\pi^3} ([-u²cos(u) + 2u*sin(u)] - \int_{}^{}{2sin(u)du})

I = \dfrac{1}{\pi^3}[-u²cos(u)+2u*sin(u) + 2cos(u)]

u = \pi x

u²=(\pi x)²

I = \dfrac{1}{\pi^3}[-(\pi x)^4cos((\pi x)² )+2(\pi x)^2sin((\pi x)²) + 2cos((\pi x)²)]

J'espère vraiment pas avoir fait d'erreur sur celle-ci xD sur téléphone c'est pas évident...
Ta première intégrale HelperEddy je vais la faire plus tard, j'ai préféré faire la deuxième je savais directement que c'était IPP...

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 19-12-20 à 11:50

La deuxième tout compte fait :

I = \int_{}^{}{cos^3(x)sin^2(x)dx}

Avec IPP :

I = [-\dfrac{1}{4}cos^4(x)sin(x)] - \int_{}^{}{\dfrac{1}{4}cos^5(x)dx}

Faut maintenant faire :

P = \int_{}^{}{cos^5(x)dx}

Petite pause dit moi si jamais y'avait plus simple pour celle que je fais là ou pas ^^ merci.

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 19-12-20 à 11:57

P = \int_{}^{}{(1-sin^2(x))²cos(x)dx}

u = sin(x)
\dfrac{du}{cos(x)} = dx

P = \int_{}^{}{(1-u²)²du}

P = \int_{}^{}{u^4-2u²+1du}

P = [\dfrac{1}{5}sin^5(x) - \dfrac{2}{3}sin^3(x)+sin(x)]

I = [\dfrac{-1}{4}cos^4(x)sin(x)] + \dfrac{1}{4}[- \dfrac{1}{5}sin^5(x) + \dfrac{2}{3}sin^3(x)- sin(x)]

Je sens l'erreur mais bon on va voir... merci

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 19-12-20 à 12:35

J'ai encore oublié ma constante d'intégration

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 19-12-20 à 12:52

Ok j'ai trouvé mon erreur :

C'est :

I = [\dfrac{-1}{4}cos^4(x)sin(x)]+\dfrac{1}{4} \int_{}^{}{cos^5(x)}

Donc :

I = [\dfrac{-1}{4}cos^4(x)sin(x)+\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{5}sin^5(x) -\dfrac{2}{3}sin^3(x) + sin(x))]

Normalement c'est mieux j'espère

Posté par
lyceenre : Intégrale 19-12-20 à 14:14

Bien, bien, bien, ce que je t'ai donné est trop facile...

Alors celle-ci :

\displaystyle\int_{0}^{\pi}{sin^4x}

Posté par
PLSVUre : Intégrale 19-12-20 à 15:16

Bonsoir ,
I = [\dfrac{-1}{4}cos^4(x)sin(x)+\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{5}sin^5(x) -\dfrac{2}{3}sin^3(x) + sin(x))]
  à vérifier  en dérivant .........
sans changement de  variable
I = \int_{}^{}{cos^3(x)sin^2(x)dx} \\ I=\int_{}^{}{cos(x)(1-sin^2(x) )sin^2(x)dx} \\ I=\int_{}^{}{cos(x)sin^2(x)- cos(x)sin^4(x)dx}
   à teminer...

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 19-12-20 à 15:55

PLSVU j'ai vérifié avec wolframalpha l'intégrale de 0 à 1 et tester avec ma primitive et ça donnait exactement la même valeur, le résultat est bon normalement.

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 19-12-20 à 16:48

lycéen :

I = \int_{0}^{\pi}{sin^4(x)dx}

Avec IPP on a :

I = [-sin^3(x)cos(x)]_{0}^{\pi} + 3\int_{0}^{\pi}{sin^2(x)cos^2(x)dx}

I = [-sin^3(x)cos(x)]_{0}^{\pi} - 3\int_{0}^{\pi}{sin^4(x)dx}+ 3\int_{0}^{\pi}{sin²(x)dx}

I = [-sin^3(x)cos(x)]_{0}^{\pi} - 3*I+ 3\int_{0}^{\pi}{sin²(x)dx}

P = \int_{0}^{\pi}{sin^2(x)dx}

cos(2x) = cos^2(x)-sin^2(x)
cos²(x) = 1-sin^2(x)
cos(2x) = 1-2sin^2(x)
\dfrac{1}{2}(1-cos(2x)) = sin²(x)

P = \int_{0}^{\pi}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{cos(2x)}{2}dx}

P = [\dfrac{1}{2}x- \dfrac{1}{4}sin(2x)]_{0}^{\pi}


I = \dfrac{1}{4}* [-sin^3(x)cos(x) + 1.5x - 1.5sin(2x)]_{0}^{\pi}

Comme sin(0) = 0 et sin(pi) = 0
On trouve facilement :

I = \dfrac{3\pi}{8}

Je sais qu'on aurait pu faire des le début le changement de sin^2(x) mais j'y ai pas pensé à ce moment là xD

Posté par
lyceenre : Intégrale 19-12-20 à 18:18

C'est bon ! Bravo, calcul parfait avec toutes ces IPP.

Cependant, je serais passé par la formule d'Euler :

\sin{x} = \dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}

\sin^4{x} =\left( \dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^4=\dfrac{cos(4x)-4cos(2x)+3}{8}

L'intégrale se calcule facilement sans passer par une IPP.

Posté par
HelperEddyre : Intégrale 19-12-20 à 18:30

En effet, ma première intégrale est plus simple si on l'a réécrit comme cela :

\int\left(\sin ^{2} x-\sin ^{4} x\right) \cos x d x

car \cos^2=\left(1-\sin^2\right)

Sinon bravo!

En as-tu assez FerreSucre?

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 19-12-20 à 19:44

HelperEddy non x) Allez-y j'en veux bien d'autres , faut remettre les pendules à l'heure. merci !

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 19-12-20 à 19:46

En tout cas intéressant le fait de passer par la formule d'euler Lyceen , je retiens si jamais je le vois !

Posté par
HelperEddyre : Intégrale 19-12-20 à 20:23

Bon en voilà une qui devrait te prendre un peu de temps à moins que tu vois l'astuce haha :

\int \frac{-9 x^{3}}{\sqrt{x^{10}+9 x^{8}}+\sqrt{324 x^{6}+2916 x^{4}}+\sqrt{6561 x^{2}+59049}} d x

Bonne nuit ^^

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 19-12-20 à 20:31

Wowowowo mdrrrr je vais y réfléchir d'ici 1 h merci xD

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 19-12-20 à 21:08

Bon alors HelperEddy, tu m'excuseras si je saute les étapes mdr j'ai tout fait sur mes notes sur ipad mais là tout réécrire sur téléphone ...

On pouvait remarquer que chaque terme se factorisait par (x²+9), on pouvait donc poser le changement de variable suivant :

\sqrt{x²+9} = u
\dfrac{u}{x}du = dx

Le 1/x simplifiais le x^3 au numérateur. On a donc x² , et x² = u²-9

De plus en développant maintenant en dessous tout se simplifie on a plus que :

I = \int_{}^{}{\dfrac{-9(u²-9)}{u^4}du

Et la classique :

I = \int_{}^{}{-9u^{-2}+81u^{-4}du}

I = 9u^{-1}-27u^{-3} + C

J'espère ne pas avoir fait d'erreur !

Excellente cette intégrale merci de cette découverte ! Pas si longue que ça tout compte fait. Si jamais t'en as d'autres xD peut-être pas de ce genre, c'est dommage qu'en terminal on aille pas sur des intégrales avec changement de variable ect... (j'ai pas encore vue le chapitre c'est en fin d'année). Mais hésite pas même si t'en as des un peu + dur ^^ (pas trop non plus on y va progressivement xD) Merci beaucoup !

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 19-12-20 à 21:11

J'ai oublié de remettre avec les « x » :/

I = \dfrac{9}{\sqrt{x²+9}}-\dfrac{27}{(x²+9)\sqrt{x²+9}} + C

Posté par
lyceenre : Intégrale 20-12-20 à 08:00

Alors augmentons un peu plus le niveau, par un changement de variable :

Montrer que I = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 20-12-20 à 10:08

On passe d'un petit changement de variable à l'intégrale de gauss là xD, je vais voir ce que je peux faire sans regarder ailleurs mais c'est très très chaud.

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 20-12-20 à 10:12

Petite question je me souviens en 1ère quand j'avais vue la démonstration de celle-ci y'a pas de double intégrale (parce que je sais pas faire ça).

Posté par
lyceenre : Intégrale 20-12-20 à 10:35

Indice : Calculer I^2

I^2=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy  

Un petit changement de variable en coordonnées polaires, sans oublier la matrice jacobienne... et le tour est joué.

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 20-12-20 à 10:56

Ouii bien sûr XD y'a une crevasse entre les deux niveaux là

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 20-12-20 à 11:16

Après je me souviens que l'on passait par le rayon car ça fait un cercle en 3d sur chaque « couche » j'vais essayer avec le peu de souvenirs xD :

I² = \int_{-\infty}^{+\infty}{\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-(x²+y²)}dx}dy}

x²+y² = r²
r étant le rayon et la suite hmm xD

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 20-12-20 à 12:33

J'ai regardé une vidéo parce que là mdr, ducoup j'essaye juste de comprendre parce que c'est chaud quand même....

Posté par
lyceenre : Intégrale 20-12-20 à 13:08

Je reconnais y être allé plutôt fort. L'intégrale de Gauss se situe plutôt dans le supérieur, en post-bac.

SI tu n'as jamais abordé la matrice jacobienne, cela va être difficile pour toi.

En terminale, je ne crois pas que le système de changement de repère soit abordé. Pour faire vite, il est possible de passer du système orthonormé au système polaire en posant :

x = r\cos \theta \\ y = r\sin \theta

En outre, le plan est représenté par un cercle de rayon infini :

r \ge  0 \\ \theta \in [0;2\pi]

Je ne fais pas le cours ici, mais le principe sera de calculer le déterminant de la matrice jacobienne qui donne l'égalité suivante :

\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2}dx}\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-y^2}dy} =\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2-y^2}dxdy} = \int_{0}^{2\pi}{\theta d\theta}\int_{0}^{+\infty}{re^{-r^2}dr}

La forme re^{-r^2} a pour forme primitive   \dfrac{-e^{-r^2}}{2}

Et le tour est joué !

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 20-12-20 à 13:15

Ouais c'est juste le passage avec jacob qui est dur xD Elle a pas l'air si dur quand on connait mais il me semblait qu'on pouvait la faire intuitivement ? Avec la représentation en 3D et justement avec des cercles ect... mais oO

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 20-12-20 à 13:16

lyceen de toute façon on a pas encore vue le chapitre d'intégration mais en terminale le programme est de plus en plus facile :/ pour te dire je crois pas que l'on voit les simples petit changement de variable.

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 20-12-20 à 13:32

En posant le nouveau repère :

x = rcos(\theta)
y = rsin(\theta)

x²+y² = r²(cos²(\theta)+sin²(\theta)) = r²  

Donc ça d'accord,  mais petite question ça représente quoi :

\int_{0}^{+\infty}{re^{-r²}dr}

Pour essayer de mieux comprendre

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 20-12-20 à 14:45

En faite on change juste les deux variable ? Mais comment tu gères le dxdy en d0dr ?
Parce que tu dérives quelle variable ici par exemple ?

x = rsin(\theta)
dx = ?

Posté par
lyceenre : Intégrale 20-12-20 à 15:58

En fait, je m'aperçois que j'ai mis la barre un peu haute.

Le changement de variables se fait sur deux dimensions, dont c'est une matrice carrée 2 fois 2 qui fait le travail :

\begin{pmatrix} r\cos\theta & r\cos\theta \\ r\sin\theta & r\sin\theta \end{pmatrix}

Sur les lignes, tu reconnais les expressions de x et y

La matrice jacobienne ajoute un concept : les dérivées partielles. Tu reprends la matrice précédente et tu dérives les éléments de la première colonne par r et la seconde par \theta. Tu as les 4 combinaisons de dérivées.

En outre, tu lis comme ça :

\begin{pmatrix} \dfrac{dx}{dr} &  \dfrac{dx}{d\theta} \\ \dfrac{dy}{dr} &  \dfrac{dy}{d\theta} \end{pmatrix}

Tu obtiens  la matrice suivante :
\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta  \\ \sin\theta & r\cos\theta  \end{pmatrix}

Après tu calcules le déterminants de cette matrice jacobienne :

D_J(r, \theta) = \cos\theta \times r\cos\theta - ( -r\sin\theta \times \sin\theta)  = r (\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r

Donc on lit que dxdy=rdrd\theta

D'où :

\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2-y^2}dydx =\int_{0}^{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} re^{r^2}drd\theta

\int_{0}^{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} re^{r^2}drd\theta \\ \\ = 2\pi[\dfrac{-e^{-r^2}}{2}]_0^{+\infty} \\ \\ =\pi (1 - \lim_{x\to+\infty}{-e^{-r^2}})= \pi \\

Donc I^2=\pi d'où I=\sqrt{\pi}

Posté par
lyceenre : Intégrale 20-12-20 à 15:58

Bon, je pense que nous avons nettement excédé le niveau terminale...

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 20-12-20 à 16:20

lyceen ouais c'est sûr mais c'est intéressant, le problème est que je n'ai pas vue les matrices xD mais j'ai + ou - compris quand même après je verrai ça en bac+1 avec les démonstrations peut-être j'espère xD

J'ai quelques questions :

Comment pouvons nous savoir que ce changement de repère avec x = ... et y = ... était la bonne chose à faire ? C'est un changement De repère fréquent celui ci ? Est-ce un peu comme avec un changement de variable basique où ça se fait avec de l'expérience et de l'intuition ?

Et comment passes-t'on de 0 à 2pi pour la première integrale et de 0 à + infty pour la deuxième (on avait -infty à +infty pour les deux avant ) ^^?

Posté par
lyceenre : Intégrale 20-12-20 à 16:48

Le système des polaires en 2D, cylindriques en 3D, est souvent utile pour des intégrales. Il permet de neutraliser une variable, très utile pour les intégrales utilisant sur deux dimensions.

En système cartésien, nous avons le classique couple abscisse et ordonnées, chacune variant de -\infty à +\infty, ce qui permet de dessiner le plan complet. Pour repérer un point, on indique ses coordonnées, chacune étant la distance aux axes originaux.

Le système des coordonnées polaires dessine le plan comme un cercle de rayon infini. Pour repérer un point, on détermine sa distance à l'origine (le rayon) et l'angle du rayon par rapport à l'axe d'origine.

Par exemple, le point (1;1) en cartésien est le point (\sqrt{2}; \dfrac{\pi}{4}) en polaires.

La combinaison entre les deux :

\\ x = r\cos\theta = \sqrt{2}\cos\dfrac{\pi}{4} = \sqrt{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 1 \\ \\ y = r\sin\theta =\sqrt{2}\sin \dfrac{\pi}{4} = \sqrt{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 1 \\

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 20-12-20 à 17:04

Merci pour tes explications c'est plus clair déjà sur certains points ^^ donc \theta varie de 0 à 2\pi, et le rayon r a obligatoirement une valeur positive ?

Comment change t'on ces bornes d'intégrations proprement ?

Posté par
lyceenre : Intégrale 20-12-20 à 18:42

Ce que tu me demandes, c'est ce que j'ai appris en première année de prépa intégrée. Je n'ai pas la stature d'un professeur pour le faire en quelques mots

Le rayon a effectivement une valeur positive, puisqu'il s'agit de la distance algébrique depuis l'origine. Quand à l'angle, il est effectivement compris entre 0 et 2\pi.

Je pense que tu imagines aisément une demi-droite de longueur infinie tourner sur un tour complet à son origine : elle balaie complétement le plan. Ce système est utilisé dans des calculs de trajectoires, vitesses et accélérations de mobiles autour d'un centre ou un axe, ce qui facilité grandement les calculs.

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 20-12-20 à 18:55

Oui j'imagine bien la chose mais pour les nouvelles bornes d'intégration on ne peux pas poser d'équations ?

Posté par
lyceenre : Intégrale 20-12-20 à 18:57

Il s'agit pour moi d'un postulat, rien à démontrer.

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 20-12-20 à 20:42

C'est ce qui rend la chose extrêmement subtile xD t'aurais pas une integral avec le même fonctionnement histoire de voir ? Même si c'est pas de mon niveau je préfère avoir une avant-première ^^ même les changements de variable aujourd'hui de sont pas au programme :/

Posté par
HelperEddyre : Intégrale 20-12-20 à 21:10

Bravo pour mon ancienne intégrale. Pour suivre avec les idées de Lyceen, mais pour que ce ne soit pas aussi dur, voilà :

\iiint_{R} z \exp \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y d z

où dans les coordonnées cylindriques on a :

\{(r, \theta, z) \mid 1 \leq r \leq 2,0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq z \leq 1\}

et dxdydz=rdrd\theta dz

Bonne Intégration

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 21-12-20 à 00:15

Hrm hrm je vais voir ça demain après-midi xD merci en tout cas

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 21-12-20 à 00:17

Mais dans tout les cas ça converge pas ce que tu m'as donné si ? Le résultat diverge ?

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 21-12-20 à 10:18

Ahh je croyais que j'allais devoir changer les 3 coordonnées ducoup je regardais les déterminants des matrices 3x3 ... au moins je sais comment faire maintenant xD :

x = rcos(\theta)
y = rsin(\theta)

x²+y² = r²

Determinant = le même qu'avant, soit :

\Delta = r

On a :

I = \int_{0}^{1}{\int_{0}^{2\pi}{\int_{1}^{2}{zre^{r²}dr}d\theta}dz}

I = \int_{0}^{1}{\int_{0}^{2\pi}{z*\dfrac{e^{4}-e^{1}}{2}d\theta}dz}

I = \int_{0}^{1}{{2\pi*z*\dfrac{e^{4}-e^1}{2}dz}

I = [\pi*z²*\dfrac{e^4-e^1}{2}]_0^1

I = \pi*\dfrac{e^4-e^1}{2}

Est-ce correct ?? Comment on trouve les nouvelles bornes encore une fois, que r est entre 1 et 2 ect... ?

Posté par
HelperEddyre : Intégrale 21-12-20 à 17:56

Exactement.

Les bornes te sont données dans l'exercice.  En général, pour trouver tes bornes, tu représentes ton domaine et regarde quelle est sa forme générale. Puis tu choisis une base pour calculer (cyclindrique, sphérique, elliptique...) Et parfois vaut mieux rester dans sa base de départ.

Un exercice sans aide cette fois :

\iiint_{R}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z \text { où } R \text { est la région de } \mathbf{R}^{3} \text { telle que } 0 \leq z, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4 \text { et } z^{2} \geq x^{2}+y^{2}

Bonne intégartion ^^

Une autre de niveau terminale vu que je suis rarement disponible:

\int_{0}^{1 / 2} \arcsin (\sqrt{x}) d x

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