Niveau Master Maths

Intégrale

Posté par
Fachetta 01-03-21 à 15:28

Bonjour à tous, j'ai trouvé le calcul de cet intégrale difficile
1/√(t*(1-t)) de 0 à x
Votre aide SVP

Posté par re : Intégrale 01-03-21 à 15:48

$x\in[0,1]$ , je suppose ?
Changement de variable $t = \cos^2(u)$ , pour $u\in[0,\arccos(\sqrt{x})]$ .
Ca va te faire $\sqrt{t(1-t)} = \cos(u)\sin(u)$ au dénominateur (on est entre 0 et $\pi/2$ , le cos et le sin sont positifs ici) et au numérateur $dt = -2\sin(u)\cos(u)du$ . Donc ton truc doit être égal à $\pi-2\arccos(\sqrt{x})$ ou quelque chose comme ça

Posté par re : Intégrale 01-03-21 à 15:50

$u\in[\arccos(\sqrt{x}), \pi/2]$ plutôt

Posté par re : Intégrale 01-03-21 à 16:04

Et ça doit aussi faire $2\arcsin(\sqrt{x})$ .

D'ailleurs tu peux vérifier en dérivant : $\dfrac{d(2\arcsin(\sqrt{x}))}{dx} = \dfrac{2}{\sqrt{1-\sqrt{x}^2}}\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt{x(1-x)}}$ quand x est positif. Et comme [0,1] est connexe et les deux fonctions ont la même image en 0...

Posté par re : Intégrale 01-03-21 à 16:26

Merci

Posté par re : Intégrale 02-03-21 à 10:03

Pour avoir une primitive de f : ]0 , 1[ f(t) := (t - t²)^1/2 il me semble que le changement de variable défini par t = (1 + s)/2 permet de tomber plus naturellement sur Arcsin .