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Integrale
Bonsoir j'ai un exo que j'arrive pas à resoudre merci de bien vouloir m'aider
Soit f la fonction définie par 𝑓(𝑥) = 1/ √(1+t^2)dt
1.) Justifier que f est définie sur ℝ, puis que f est impaire.
2.) Montrer que f est bijective et que 𝑓^(−1)(𝑥) =1/2(𝑒^𝑥 − 𝑒^−𝑥).3.) Montrer que 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 + √(1 + 𝑥^2))
Bonjour
Pour que f soit définie, on veut juste que f(x) existe pour tout x réel
Que faut-il que la fonction qu'on intègre vérifie ?
En fait il suffit que la fonction soit continue sur [0,x], et ce pour tout x réel. Donc au total, seulement sur
mais si tu dis qu'elle est continue sur R, c'est bon.
C'est une fraction. Il faut alors que le numérateur et le dénominateur soient des fonctions continues, et que le dénominateur ne s'annule pas
Ah d'accord j'ai compris
Et pour la determination de la bijection reciproque doit on faire f(x) = y puis tirer l'expression de x en fonction de y
Oui mais d'abord il faut avoir montré qu'elle est bijective
Sous quelles conditions une fonction continue est bijective?
Bonsoir quelqu'un peut il m'aider à continuer mon exo j'arrive toujours pas à le resoudre je bloque sur la question 2
Oui, désolé je n'avais pas vu ton message
Tu as dit au début du fil :
Et pour la determination de la bijection reciproque doit on faire f(x) = y puis tirer l'expression de x en fonction de y
c'est bien ça qu'il faut faire.
Mais il faut d'abord écrire les choses correctement
Ce que tu as fait (montrer que la fonction est strictement monotone) assure que la fonction est injective. Pour qu'elle soit bijective, il suffit de la rendre surjective, c'est-à-dire restreindre l'ensemble d'arrivée à son ensemble image (c'est-à-dire f(R)). Autrement dit, tu dois d'abord voir ce qu'est f(R). Pour cela, calcule les limites en +infini et -infini de f(x)
Par contre y a un problème dans ton énoncé. La fonction que tu donnes pour n'est pas du tout la réciproque de
Bonjour,
On peut traiter 3) qui est facile et en déduire 2).
Mais ça ne semble pas être dans l'esprit de l'exercice 
salut
posons et
donc f'(x) = g(x)
puisqu'on nous donne le résultat il suffit de calculer
...
posons donc et calculons
...
or donc en dérivant
on en déduit donc que
et pour la constante d'intégration il suffit de regarder ce qui se passe en 0 ...
oubliez ce qui suit (au début j'avasi tout écrit avec f^(-1) et pas h)
on en déduit donc que
Je reformule la solution de carpediem :
Avec g(x) = 1/
(1+x2) , on a f'(x) = g(x) .
Avec u(x) = (1/2)(ex-e-x)
et
m(x) = f(u(x)) , on a
m'(x) = u'(x)
f'(u(x)).
Après un petit calcul, f'(u(x)) = (1/2)
(1/(ex+e-x)) .
D'où m'(x) = 1 . Puis
m(x) = x
car
m(0) = 0 .
Mettre du "pour tout x réel partout".
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