Niveau LicenceMaths 2e/3e a

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Posté par
ardea 14-01-22 à 20:00

Bonjour,

Pour un entier naturel k donné, comment montrer cette égalité :

$\frac{1}{\pi}\int_{0}^{ \pi }{\frac{sin((k+ \frac{1}{2})u)}{sin(\frac{u}{2})}}du = 1$

J'ai essayé de le montrer par récurrence mais je bloque sur l'hérédité.

Merci !

Posté par re : Intégrale 14-01-22 à 20:36

Hello! Essaie de montrer que la suite est constante en prenant la diff de 2
termes successifs

Posté par re : Intégrale 14-01-22 à 21:43

Salut lionel52, merci beaucoup pour ta réponse.

Si je pose $u_{k}(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}{\frac{sin[(k+\frac{1}{2})x]}{sin(\frac{x}{2})}}dx$ alors :

$u_{k+1}(x) - u_{k}(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}{\frac{sin[(k+1+\frac{1}{2})x] - sin[(k+\frac{1}{2})x]}{sin(\frac{x}{2})}}dx \\ \\ u_{k+1}(x) - u_{k}(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}{\frac{sin[(k+1 +\frac{1}{2})x] - sin[(k+1-\frac{1}{2})x]}{sin(\frac{x}{2})}}dx$

$u_{k+1}(x) - u_{k}(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}{\frac{sin[(k+1)x]cos(\frac{x}{2})+ cos[(k+1)x]sin(\frac{x}{2}) - [sin[(k+1)x]cos(\frac{-x}{2})+ cos[(k+1)x]sin(\frac{-x}{2})]}{sin(\frac{x}{2})}}dx \\ \\ u_{k+1}(x) - u_{k}(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}{2cos[(k+1)x]}dx = 0$

$u_{k}(x)$ est donc une suite constante. Comme $u_{0}(x) = 1$ , on en déduit que $u_{k}(x) = 1$ .

Posté par re : Intégrale 15-01-22 à 05:19

bonjour;
le numérateur est la différence de deux sinus on peut employer la formule:

$\sin (a) - \sin (b) = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}$

Posté par re : Intégrale 15-01-22 à 21:12

Bonsoir,

L'intégrande est une expression du noyau de Dirichlet. En revenant à son expression sous forme de somme, la calcul est facile.

Posté par re : Intégrale 16-01-22 à 06:15

Bonjour;

$\frac{{2\cos \left[ {\left( {k + 1 + \frac{1}{2} + k + \frac{1}{2}} \right)\frac{x}{2}} \right]\sin \left[ {\left( {k + 1 + \frac{1}{2} - k - \frac{1}{2}} \right)\frac{x}{2}} \right]}}{{\sin \frac{x}{2}}} = \frac{{2\cos \left[ {\left( {k + 1} \right)} \right]\sin \frac{x}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}}} = 2\cos \left[ {\left( {k + 1} \right)x} \right]$

Posté par re : Intégrale 16-01-22 à 06:33

correction

$\\ \frac{{2\cos \left[ {\left( {k + 1 + \frac{1}{2} + k + \frac{1}{2}} \right)\frac{x}{2}} \right]\sin \left[ {\left( {k + 1 + \frac{1}{2} - k - \frac{1}{2}} \right)\frac{x}{2}} \right]}}{{\sin \frac{x}{2}}} = \frac{{2\cos \left[ {\left( {k + 1} \right)x} \right]\sin \frac{x}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}}} = 2\cos \left[ {\left( {k + 1} \right)} \right]\\$

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