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Intégrale arc cosinus
Bonjour bonjour,
J'ai un petit problème pour la résolution de cette intégrale :
\int_{0}^{1}{arcos(\frac{1-t²}{1+t²})}
J'ai donc commencé par faire le changement de variable suivant :
t = tan(u/2) -> u=2arctan(t) -> dt=\frac{1+tan²(u/2)}{2} du
Pour le changement de borne, on a :
2arctan(1)=\frac{\pi }{2}
2arctan(0) = 0
On a donc :
=\int_{0}^{\pi /2}{arcos(\frac{1+(\frac{sin²(u/2)}{cos²(u/2)})}{1-(\frac{sin²(u/2)}{cos²(u/2)}})}*\frac{1+tan²(u/2)}{2}du
=\int_{0}^{\pi /2}{arcos(\frac{\frac{cos²(u/2)-sin²(u/2)}{cos²(u/2)}}{\frac{cos²(u/2)+sin²(u/2)}{cos²(u/2)}}})*(\frac{1+tan²(u/2)}{2})du
=\int_{0}^{\pi /2}{arcos(cos(u))}*(\frac{1+tan²(u/2)}{2})
=\int_{0}^{\pi /2}{u}*(\frac{1+tan²(u/2)}{2})du
A partir de là, j'ai essayé toutes les techniques pour me ramener à quelque chose de simple, j'ai même essayé de faire une IPP lorsque que l'on distribue le u sur le tan²(u/2) dans la parenthèse, mais rien ne va ...
Effectivement j'ai complètement oublié les balises ^^'
Ce sera mieux comme ça :
Donc comme je disais, j'ai un peu de mal sur cette intégrale :
J'ai donc commencé par faire le changement de variable suivant :
t = tan(u/2) -> u=2arctan(t) ->
Pour le changement de borne, on a :
2arctan(1)= et 2arctan(0)=0
On a donc :
A partir de là, j'ai essayé toutes les techniques pour me ramener à quelque chose de simple, j'ai même essayé de faire une IPP lorsque que l'on distribue le u sur le tan²(u/2) dans la parenthèse, mais rien ne va ...
Bonjour,
Perso j'aurais directement fait une IPP à partir de l'intégrale donnée en m'arrangeant pour dériver l'arccos.
A partir de là, j'ai essayé toutes les techniques pour me ramener à quelque chose de simple, j'ai même essayé de faire une IPP lorsque que l'on distribue le u sur le tan²(u/2) dans la parenthèse, mais rien ne va ...
par contre à partir du ton dernier résultat une double IPP (en dérivant toujours le terme/facteur contenant tan peut peut-être produire quelque chose d'intéressant ...
mais la proposition delarrech me semble plus prometteuse directement
Tu peux faire un deuxième changement de variable v = u/2 pour faire sauter les 1/2 et ton intégrale devient .
Et là, tu fais ton IPP :
Et enfin, une primitive de tan est facile à calculer, parce que tan = sin / cos est à peu de choses près, de la forme u'/u, qui se primitive en log(u) 
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