Poser tgx = t
1/cos²x = t²+1
1+cos²x = (t²+2)/t²+1)

dx/cos²x = dt
dx = dt/(t²+1)

S dx/(1+cos²x) = S ((t²+1)/(t²+2)).(t²+1) dt
S dx/(1+cos²x) = S dt/(t²+2)

Poser t = V2.u  (V pour racine carrée).
S dx/(1+cos²x) = (1/V2). S du/(u²+1) = (1/V2).arctg(u) + C

S dx/(1+cos²x) = (1/V2). arctg((tg(x))/V2) + C

Il y a sûrement moyen de "détordre" ce résultat, mais je n'essaie pas.
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Sauf distraction.  

Bonjour,
Et merci beaucoup.
J'étais bien parti sur un changement par tg(x), mais je me suis perdu en chemin , en ayant noirci plusieurs pages.
Par contre, en reprenant l'énoncé, l'intégrale est bornée entre 0 et pi/2.
Si j'ai bien compris, mes nouvelles bornes après le changement de variable devraient être 0 et arctg(pi/2).
Ce qui évite de détordre le résultat.
Ai-je vraiment bien compris ?
Merci.

D'accord, promis, la prochaine fois je vérifie avant de poster et je demande tout d'un coup

Pour x = 0 -> t = 0 -> u = 0
Pour x = Pi/2 -> t = oo -> u = oo

I = (1/V2).[arctg(u)] de 0 à oo
I = (1/V2).[arctg(oo) - arctg(0)]
I = (1/V2).(Pi/2 - 0)
I = Pi/(2V2)

Bonjour,
Bon, faut que je rebosse mon cours, je n'avais pas tout à fait compris ça pour le changement des bornes. Mais, bon, en regardant bien, c'est très logique ...

Merci pour le coup de main, à bientôt.