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intégrale avec IPP et récurrence

Posté par
lotus18 23-07-17 à 23:28

Bonsoir.
Apparemment il est possible par IPP de calculer Jn = 1/((x^2+1))^2 dx
j'ai donc posé u = x                                             u'=1
                               v=1/ (x^2+1)^2                     v' = -4x* 1/(x^2+1)^3



J'ai donc Jn = x /(x^2+1) ^2 *4 x^2*1/(x^2+1)^3 dx

la dernière partie de l'intégrale précédente est censée être de forme Jn+1-Jn mais çà je ne m'en rend pas compte par moi même...

Le problème c'est  cette intégrale Jn = x/(x^2+1)^2 + 4* (Jn+1 -Jn)

D'elle, je ne sais pas tirer Jn. C'est sûrement une somme avec des termes qui s'annulent mais je ne vois pas comment la calculer.


Merci d'avance.

Posté par
larrechre : intégrale avec IPP et récurrence 23-07-17 à 23:43

Bonsoir,

Vous appelez votre intégrale J_n, mais où est le n dans ce qui suit?

Posté par
etniopalre : intégrale avec IPP et récurrence 24-07-17 à 00:58

J'imagine que   Jn(x) = 0x   1/(1 + t²)n  ?

Unr IPP te permet d'écrire ( sauf erreur ) Jn(x) = x/(1 + x²)n + 2n(Jn(x) - Jn+1(x))

Posté par
lotus18re : intégrale avec IPP et récurrence 24-07-17 à 01:25

pardon.. le n correspond au 2 de la puissance.
Jn+1-Jn est en fait J3-J2 .
Mais comme je ne le visualise pas moi même j'ai écrit ce que j'étais censée trouver sans remplacer

Posté par
lotus18re : intégrale avec IPP et récurrence 24-07-17 à 01:36

Je vais donc mieux formuler ma question:
A la fin du calcul on obtient J2=
\frac{x}{(x^2+1)^2}+4*(J3-J2)
Le problème c'est qu'à partir de là ne conaissant pas J3, je ne sais pas comment calculer j2

Posté par
lediletantexre : intégrale avec IPP et récurrence 24-07-17 à 06:50

Bonjour;

Peut-être ?


J_1  = \frac{x}{{(x^2  + 1)}} + 2J_1  - J_2  \\ \\ J_2  = \frac{x}{{(x^2  + 1)^2 }} + 4J_2  - J_3  \\ \\ J_3  = \frac{x}{{(x^2  + 1)^2 }} + 3J_2  \\ \\ J_2  = \frac{x}{{(x^2  + 1)^2 }} + J_1  \\ \\ J_1  = .... \to J_2 ... \to J_3  \\ \\

Le problème avec cette formule de récurrence ,  si n entier et grand;  cela devient rapidement inextricable.

Posté par
larrechre : intégrale avec IPP et récurrence 24-07-17 à 08:04

Bonjour,

J'obtiens la même chose que etniopal (que je salue).
L'astuce diabolique consistant à écrire t^2=t^2+1-1

Posté par
lotus18re : intégrale avec IPP et récurrence 24-07-17 à 19:42

Merci beaucoup. Cela me permet donc de calculer toute intégrale de la forme
\int \frac{1}{(1+x^2)^n}

Je suis donc par contre obligée de calculer J1 grâce à lui de trouver J2 grâce à lui J3 etc si j'ai bien compris.

Posté par
lediletantexre : intégrale avec IPP et récurrence 25-07-17 à 07:12

bonjour;

une autre écriture  de J_n

J_n  = \int {\frac{{dx}}{{(1 + x^2 )^n }}}  \\ \\ J_n  = \int {\frac{{1 + x^2  - x^2 }}{{(1 + x^2 )^n }}} dx = \int {\frac{{1 + x^2 }}{{(1 + x^2 )^n }}dx}  - \int {\frac{{x^2 }}{{(1 + x^2 )^n }}dx}  \\ \\ J_n  = J_{n -1}  - \int {x\frac{x}{{(1 + x^2 )^n }}} dx \\ \\ J_n  = J_{n- 1}  - \frac{x}{{2(1-n)(1 + x^2 )^{n-1} }} + \frac{1}{{2(1- n)}}J_{n - 1}  \\ \\ J_n  = \frac{{2n -3}}{{2(n- 1)}}J_{n -1}  + \frac{x}{{2(n -1)(x^2+ 1)^{n-1} }}\quad n > 1 \\

J_1  = arc\tan x


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