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intégrale avec limite

Posté par
Nelcar
02-03-21 à 13:19

Bonjour,
voici un exerce que j'essaie de faire (enfin comprendre car j'ai le corrigé à la fin du livre mais comme il n'y a pas de détail pas évident à comprendre)
voilà :
Soit (I indice n) la suite définie sur par In=en vas 0 en haut 1 x^n sin(x)dx
1a) montrer que, pour tout n de *
Iindice n+1 -Iindice n =x^nsin(x)(x-1)dx
b) en déduire le sens de variation de la suite (I indice n)
2) justifier que pour tout réel x de [0;1], et pour tout n de *
a) 0x^n sin(x)x^n
b)0I indice n1/(n+1)
3) déterminer la limite de la suite (I indice n)

pour l'instant je suis qu'au 1 a) car je ne comprends pas
j'ai donc fait I (n+1) -I(n)= en vas 0 en haut 1 x^n+1 sin(x)dx-en vas 0 en haut 1 x^n sin(x)dx

MERCI de m'expliquer

Posté par
hekla
re : intégrale avec limite 02-03-21 à 13:42

I_{n+1}-I_n=\int_0^1x^{n+1}\sin x\rm{d}x-\int_0^1x^{n}\sin x\rm{d}x

On peut tout mettre sous le signe \int et factorisation  classique

Posté par
malou Webmaster
re : intégrale avec limite 02-03-21 à 13:42

Bonjour
par linéarité, mets tout sous un seul signe d'intégration
puis factorise ...

Posté par
hekla
re : intégrale avec limite 02-03-21 à 13:55

Bonjour malou

Posté par
Nelcar
re : intégrale avec limite 02-03-21 à 13:58

Re,
ok c'est bon
pour 1 b) le corrigé met :
pour x de [0;1], s^n sin(x)(x-)0
et je ne comprends pas

MERCI

Posté par
malou Webmaster
re : intégrale avec limite 02-03-21 à 13:58

Bonjour hekla
...je n'ai donc plus rien à faire sur le sujet ...

Posté par
hekla
re : intégrale avec limite 02-03-21 à 14:07

Vous pouvez passer je raconte parfois des inepties

Posté par
hekla
re : intégrale avec limite 02-03-21 à 14:11

x\geqslant 0 par conséquent  x^n \geqslant 0\ \,\ \sin x \geqslant0

mais comme x\leqslant 1 alors (x-1)\leqslant 0 donc

Posté par
Nelcar
re : intégrale avec limite 02-03-21 à 17:23

Re,
donc la suite In est décroissante.

pour le 2 a) ça a été par contre pour le
2 b) j'ai du mal
pourquoi 1/(n+1)

MERCI

Posté par
hekla
re : intégrale avec limite 02-03-21 à 18:42

On prend l'intégrale

 0\leqslant x^n\sin x\leqslant x^n

\int_0^1 0\rm{d}x\leqslant \int_0^1x^n\sin x\rm{d}x\leqslant \int_0^1x^n\rm{d}x

0\leqslant I_n\leqslant \left[\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}\right]_0^1

Posté par
Nelcar
re : intégrale avec limite 02-03-21 à 20:07

ok
donc pour la limite de la suite In
lim    1/(n+1)=0
x+infini
donc d'arpès le théorème des gendarmes, lim In=0  
                                                                                        n+ infini

MERCI

Posté par
hekla
re : intégrale avec limite 02-03-21 à 20:20

Voilà

Posté par
Nelcar
re : intégrale avec limite 02-03-21 à 20:57

OK

MERCI

Posté par
hekla
re : intégrale avec limite 02-03-21 à 20:59

De rien

À demain

Posté par
Nelcar
re : intégrale avec limite 02-03-21 à 21:22

OK
Bonne soirée


et encore MERCI



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