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Integrale (cosx)^5

Posté par
mwa1 14-03-12 à 16:02

Bonjour,

Je n'arrive pas à linéariser    cos^5x    pour pouvoir l'intégrer par partie

je met sous la forme     2cosx (1-sin^2x)    mais après je tourne en rond

et j'ai essayé de l'intégrer sous cette forme mais c'est pareil , le schema se repète ...

Posté par
kluxre : Integrale (cosx)^5 14-03-12 à 16:05

Bonjour,

\cos^5(x)=\frac{1}{2^5}(e^{ix}+e^{-ix})^5 puis utiliser la formule du binôme de Newton...

Posté par
mwa1re : Integrale (cosx)^5 14-03-12 à 17:10

... j'ai pas encore vu ça je crois        faut connaître les séries et la forme exponentielle des complexes ?
je connais que les formes algébrique et trigonométrique pour le moment ...

Posté par
kluxre : Integrale (cosx)^5 14-03-12 à 17:30

Oui, il faut connaître l'exponentielle complexe e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta) et la formule du binôme de Newton (a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k a^kb^{n-k}.

Posté par
Glapion Moderateurre : Integrale (cosx)^5 14-03-12 à 17:32

cos5x=(1/16)(10cos(x)+5cos(3x)+cos(5x))

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Integrale (cosx)^5 14-03-12 à 18:02

Une façon parmi d'autres :

cos²(x) = (1 + cos(2x))/2

cos(3x) = cos(2x+x) = cos(2x).cos(x) - sin(2x).sin(x)
cos(3x) = (2cos²(x)-1).cos(x) - 2.cos(x).(1-cos²(x))
cos(3x) = 2cos³(x) - cos(x) - 2.cos(x) + 2cos³(x)
cos(3x) = 4cos³(x) - 3cos(x)
cos³(x) = (1/4).cos(3x) + (3/4).cos(x)

cos^5(x) = cos²(x) * cos³(x)
cos^5(x) = (1 + cos(2x))/2 * ((1/4).cos(3x) + (3/4).cos(x))
cos^5(x) = (1/8).cos(3x) + (1/8).cos(2x).cos(3x) + (3/8).cos(x) + (3/8).cos(x).cos(2x)
cos^5(x) = (1/8).cos(3x) + (3/8).cos(x) + (3/8).cos(x).cos(2x) + (1/8).cos(2x).cos(3x)
cos^5(x) = (1/8).cos(3x) + (3/8).cos(x) + (3/8).[(1/2).(cos(3x) + cos(x))] + (1/8).[(1/2).(cos(5x) + cos(x))]
cos^5(x) = (1/8).cos(3x) + (3/8).cos(x) + (3/16).cos(3x) + (3/16).cos(x)+ (1/16).cos(5x) + (1/16).cos(x)
cos^5(x) = (1/16).cos(x) + (3/8).cos(x) + (3/16).cos(x) + (1/8).cos(3x)  + (3/16).cos(3x) + (1/16).cos(5x)
cos^5(x) = (10/16).cos(x) + (5/16).cos(3x) + (1/16).cos(5x)
cos^5(x) = (5/8).cos(x) + (5/16).cos(3x) + (1/16).cos(5x)
-----
Sauf distraction.  

Posté par
mwa1re : Integrale (cosx)^5 14-03-12 à 19:57

j'arrive même pas à passer de    e^{ix}=cos(x) + i  sin(x)    à     \frac{1}{2}(e^i^x+e^-^i^x) ...

Posté par
kluxre : Integrale (cosx)^5 14-03-12 à 19:59

e^{ix}+e^{-ix}=\cos(x)+i\sin(x)+\cos(-x)+i\sin(-x)=2\cos(x), d'où \cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.

Posté par
mwa1re : Integrale (cosx)^5 14-03-12 à 21:35

Ok , et sinon comment on déchiffre ça :   (a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k a^kb^{n-k}

j'ai plus ou moins compris son application avec les exemples donnés sur wikipedia, mais la formule ... c'est des hieroglyphes

Posté par
kluxre : Integrale (cosx)^5 15-03-12 à 13:28

(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 (voir le triangle de Pascal pour les coefficients)

Posté par
mwa1re : Integrale (cosx)^5 15-03-12 à 19:45

Ok, Merci bien  


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