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Intégrale de 1/cosx

Posté par Flower (invité) 04-12-05 à 13:47

Bonjour,

J'aimerais savoir si quelq'un savait m'aider pour résoudre l'intégrale de 1/cosX.

Merci d'avance

Julie

Posté par
ciocciure : Intégrale de 1/cosx 04-12-05 à 14:01

salut
c'est ça ta question
calculer une intégrale de 1/cosx ?
parce que ça risque de pas être simple....

Posté par Flower (invité)re : Intégrale de 1/cosx 04-12-05 à 14:17

et bien oui malheureusement   g deja essayé pas mal de piste ms encore aucune ne m'a amenée à une réponse possible ...

Si quelqu'un pourrait m'aider, ça serait sympa

Julie

Posté par Flower (invité)re : Intégrale de 1/cosx 04-12-05 à 17:43

Help....

Posté par
Nightmarere : Intégrale de 1/cosx 04-12-05 à 18:23

Bonsoir

Trouver ces primitives n'est pas vraiment de niveau terminale. Enfin, essayons quand même :

3$\rm I=\Bigint \frac{dx}{cos(x)}

Si l'on connait ses propriétés trigonométriques :
3$\rm cos(x)=\frac{1-tan^{2}\(\frac{x}{2}\)}{1+tan^{2}\(\frac{x}{2}\)}
Ainsi :
3$\rm I=\Bigint \frac{1+tan^{2}\(\frac{x}{2}\)}{1-tan^{2}\(\frac{x}{2}\)}dx

En posant 3$\rm t=tan\(\frac{x}{2}\)\Rightarrow x=2Arctan(t)\Rightarrow dx=\frac{2dt}{1+t^{2}} :
On obtient :
3$\rm I=\Bigint \frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}\times \frac{2dt}{1+t^{2}}
Soit :
3$\rm I=\frac{2dt}{(1-t^{2})}

Je te laisse continuer, si tu as compris au moins comment arriver jusque là, sinon abandonne la partie.

Pour continuer, décompose la fraction en élément simple de premiére espéce et intégre les membre

Posté par Flower (invité)intégrale de 1/cos(x) 04-12-05 à 18:30

Bonjour,

Pourriez-vous m'aider à résoudre l'intégrale de 1/cos(x); je l'ai déjà posté sur un autre forum mais sans succès...

Merci d'avance

Julie

*** message déplacé ***

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : intégrale de 1/cos(x) 04-12-05 à 18:40

Bonjour,

Je peux te donner le résultat mais pas te l'expliquer (seulement en TS ).
\int \frac{1}{cos(x)} dx= 2 Arctanh(Tan(\frac{x}{2}))

A plus

*** message déplacé ***

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : intégrale de 1/cos(x) 04-12-05 à 18:40

Bonjour,

Désolé par avance si je me suis trompé!

A plus

*** message déplacé ***

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : intégrale de 1/cos(x) 04-12-05 à 18:41

Poser sin(x) = t

cos(x) dx = dt

dx /cos(x) = dt /cos(x) = dt /(1-sin²(t))

dx /cos(x) = dt/(1-t²)

\int \frac{dx}{cos(x)} = \int \frac{dt}{1-t^2} = \frac{1}{2}\int \frac{dt}{1-t} + \frac{1}{2}\int \frac{dt}{1+t}

= -\frac{1}{2}. ln(1-t) + \frac{1}{2}.ln(1+t) = ln(\sqrt{\frac{1+t}{1-t}})

\int \frac{dx}{cos(x)} = ln(\sqrt{\frac{1+sin(x)}{1-sin(x)}})

-----
Sauf distraction.  


*** message déplacé ***

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : intégrale de 1/cos(x) 04-12-05 à 18:47

A la 3ème ligne de ma réponse précédente, lire:

dx /cos(x) = dt /cos²(x) = dt /(1-sin²(t))





*** message déplacé ***

Posté par Guillaume (invité)re : Intégrale de 1/cosx 04-12-05 à 19:49

de memoire ca fait pas ln(tan(x/2+pi/4))?

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrale de 1/cosx 04-12-05 à 20:40

Presque Guillaume.

\int \frac{dx}{cos(x)} = ln(\sqrt{\frac{1+sin(x)}{1-sin(x)}}) = ln(|tg(\frac{x}{2} +\frac{\Pi}{4})|)

On peut encore trouver d'autres formes d'écriture de cette solution.




Posté par Flower (invité)re : Intégrale de 1/cosx 04-12-05 à 21:47

En fait je vous explique comment j'avais commencé ms le problème est que je ne suis pas sur que cela soit juste :s

Donc, je suis partie du fait que 1/cos(x) = cos(x)/cos^2(x) = cos(x)/(1-sin^2(x)) ensuite j'ai pris la méthode qui dit que: 1/(x^2-a^2) = n/(x-a) + p/(x+a) ... On m'a en fait donné comme réponse 1/2[cosx/(1-sinx)+cosx/(1+sinx)]
et la forme u'/u. Le problème est que je ne vois pas comment on peut obtenir que n et p valent 1/2. Car pour arriver à cette réponse, on ne tient pas compte du cos(x)...
En effet, j'obtiens donc cos(x)/(1-sin^2(x)) = n/(1-sin(x)) + p/(1+sin(x))
et donc normalement on trouve: cos(X) = n(1+sin(x)) + p(1-sin(x)) et dans ce cas-ci on n'obtiens pas de 1/2 par contre si on ne tiens pas compte du cos(x) et qu'on égale donc le reste à 1, on obtient bien 1/2 ...

Mais bon je ne suis pas sur qu'on puisse faire ça...

Julie

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrale de 1/cosx 05-12-05 à 09:23

Flower Julie.

cos(x)/(1-sin²(x)) = cos(x).[n/(1-sin(x)) + p/(1+sin(x))]

cos(x)/(1-sin²(x)) = cos(x).[n(1+sin(x)) + p(1-sin(x))]/[(1+sin(x))(1-sin(x))]

cos(x)/(1-sin²(x)) = [cos(x)/(1-sin²(x))].[n(1+sin(x)) + p(1-sin(x))]

1 = [n(1+sin(x)) + p(1-sin(x))]

1 = n + p + (n-p).sin(x)

Pour que ce soit vrai pour tout x --> le système:

1 = n+p
0 = n-p

--> n = p = 1/2

cos(x)/(1-sin²(x)) = (1/2)[cos(x)/(1-sin(x)) + cos(x)/(1+sin(x))]

\int cos(x)/(1-sin^2(x))\ dx = (1/2) \int[cos(x)/(1-sin(x))]\ dx + \int\ [cos(x)/(1+sin(x))]\ dx

\int cos(x)/(1-sin^2(x))\ dx = (1/2) [ -ln(1-sin(x)) + ln(1+sin(x))]

\int cos(x)/(1-sin^2(x))\ dx = (1/2) [ln(\frac{1+sin(x)}{1-sin(x)})]

\int cos(x)/(1-sin^2(x))\ dx = ln(\sqrt{\frac{(1+sin(x)}{1-sin(x)}})

Cela rejoint ma solution précédente.
-----
Sauf distraction.  


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