Bonjour alexi0587

Tu n'as pas besoin du théorème des résidus pour calculer cette intégrale, simplement du théorème de Cauchy dans un ouvert étoilé.
Il faut pour cela considérer la fonction f définie sur par .

Le contour qu'il faut utiliser est le suivant :



les deux demi-cercles sont centré en 0.
Le petite demi-cercle possède un rayon que tu fais tendre vers 0 et le grand demi-cercle possède un rayon R que tu fais tendre vers .

Kaiser

j'étais sure que tu allais répondre Kaiser, le calcul de résidus c'est ta spécialité

Je suis si prévisible que ça ? (mais bon, c'est vrai que j'aime vraiment beaucoup l'analyse complexe )

Kaiser

Merci Kaiser

Je ne suis surement pas allé jusqu'ici dans mon cours d'nalyse complexe.

Moi je pensait que cet ouvert est étoilé, et donc simplement connexe et comme la fonction est holomorphe que C-0, alors l'intégrale sur ce chemin est nulle !!
Ou est la faute que je fait ?

Mais où ça une faute ? je ne vois pas de faute. Où est le problème exactement ?

Kaiser

Il faut donc faire



En prenant CR le grand demi cercle, Cr le petit demi cercle.

Mais ou est le rapport avec l'intégrale de dirichlet :s

C'est la première fois que j'intègre sur des chemin comme celui ci

cette égalité est vraie pour tout epsilon et pour tout R.
Il suffit de regarder la limite de chacun des termes de cette intégrale.
Enfin, plus précisément, calcul la limite de l'intégrale sur le grand demi-cercle et la limite de l'intégrale sur le petit demi-cercle séparément. Ensuite. Rassemble les intégrales sur les deux segments sous une seule et même intégrale entre epsilon et R : tu pourras alors faire tendre epsilon vers 0 et R vers l'infini, ce qui te donnera l'intégrale de Dirichlet (enfin, la moitié).

Kaiser

Daccord, merci bcp j'ai compris

Mais comment fait t'on pour trouver cette fonction exp(iz)/z, en partant de sin(x)/x

C'est quoi la définition du sinus ?

La définition du sinus

Ce n'est pas exp(ia)-exp(-ia)/2i ?