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Niveau Reprise d'études
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Intégrale de fonction

Posté par
Grinch3ux
28-03-21 à 16:57

Bonjour à tous!
J'ai l'énoncé suivant:
Soit k un nombre réel strictement positif. On considère les intégrales suivantes :

(image ci-jointe, désolé si j'enfreins les règles sur les images, mais je ne sais pas comment recopier clairement l'énoncé avec les intégrales)

On me demande de déterminer I+J (facile), puis I et J séparément.
Et là je bloque.
Pour I, j'étais parti sur la forme u'/u, mais je n'arrive pas à gérer l'absence du coefficient k du côté u'...
Et pour J, je sèche. 9 ans après la fin de la Terminale S, je ne me souviens plus du tout de la méthode, et les recherches sur les sites de maths ne m'ont pas aidé plus que ça.

Intégrale de fonction

Posté par
malou Webmaster
re : Intégrale de fonction 28-03-21 à 17:01

Bonjour

pour écrire des intégrales sur notre site

\begin{aligned}\int\nolimits_{-1}^{e^2} f(t)\, \text d t\end{aligned}

te donnera ceci (en écrivant cela entre les balise Ltx ) :
\begin{aligned}\int\nolimits_{-1}^{e^2} f(t)\, \text d t\end{aligned}

pour les tiennes :
pour I
tu as besoin de k, eh bien mets le ! \dfrac 1k \times k = 1  \\

Posté par
Priam
re : Intégrale de fonction 28-03-21 à 17:06

Bonjour,
Grinch3ux, tu pourrais calculer I - J .

Posté par
malou Webmaster
re : Intégrale de fonction 28-03-21 à 17:13

moi je partais plutôt sur le calcul de I qui est immédiat et qui suivait l'idée de Grinch3ux

I=\dfrac 1 k \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} \dfrac{k\times \text e ^{kx}}{\text e ^{kx}+1}\, \text d x\end{aligned}

Posté par
Grinch3ux
re : Intégrale de fonction 28-03-21 à 17:16

malou @ 28-03-2021 à 17:13

moi je partais plutôt sur le calcul de I qui est immédiat et qui suivait l'idée de Grinch3ux

I=\dfrac 1 k \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} \dfrac{k\times \text e ^{kx}}{\text e ^{kx}+1}\, \text d x\end{aligned}


Ah, merci, c'est l'astuce qui me manquait de pouvoir sortir une constante avant l'intégrale, je l'avais oubliée!

Posté par
malou Webmaster
re : Intégrale de fonction 28-03-21 à 17:23

oui, constante multiplicative, tu as le droit
j'en profite pour te signaler cette fiche, ça peut t'être utile Intégrale : un cours complet de terminale avec des exemples

Posté par
Grinch3ux
re : Intégrale de fonction 28-03-21 à 17:30

malou @ 28-03-2021 à 17:23

oui, constante multiplicative, tu as le droit
j'en profite pour te signaler cette fiche, ça peut t'être utile Intégrale : un cours complet de terminale avec des exemples


Yes, je l'avais vue et lue, mais j'imagine que si tu la signales c'est que je n'ai pas du la lire assez attentivement!

Posté par
malou Webmaster
re : Intégrale de fonction 28-03-21 à 17:36

non, je ne savais pas que tu l'avais lue
mais comme j'ai vu que tu postais en reprise d'études, me suis dit "ça peut servir"
En réalité lire est rarement suffisant, il faut aussi manier, etc'est ce que tu fais en faisant cet exercice.

Posté par
Grinch3ux
re : Intégrale de fonction 28-03-21 à 17:47

Du coup, pour I, c'est bon, et quand k tend vers +\infty j'ai I qui tend vers 0 du fait du \frac{1}{k} . Ouf!

Pour J, j'aurais été tenté d'utiliser e^{-kx}, mais le +1 au dénominateur m'ennuie.
Autrement, j'avais le fait que I+J=1, et faire l'opération J=1-I, mais le fait que le coefficient k n'apparaisse pas dans I+J me chagrine un peu. Ça m'a l'air un peu simple de juste développer J=1-I, I étant connue.

Ça doit être mon côté Shadok, pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué.

Posté par
malou Webmaster
re : Intégrale de fonction 28-03-21 à 17:51

oui, Shadok

une fois que I est calculée, elle est calculée ! peu importe la démonstration qui t'a servi à la calculer
et tu trouves J par différence effectivement

Posté par
carpediem
re : Intégrale de fonction 28-03-21 à 20:37

salut

on peut tout de même montrer qu'on peut calculer J simplement en utilisant la même astuce de malou : autant  1 = \dfrac k k  autant 1 = \dfrac {e^{-kx}} {e^{-kx}}

donc en multipliant par 1 J = \int_0^1 \dfrac {e^{-kx}} {e^{-kx} + 1} dx

et on reconnait à nouveau u'/u ... à une constante près ... qu'on détermine de la même façon ...



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