Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Intégrale de fonction périodique

Posté par
kerberos31 14-05-23 à 21:22

Bonsoir, dans le cadre des séries de Fourier, il y a une notion que je ne parviens toujours pas à comprendre.

Il est dit que :

Si f est une fonction 2π-périodique et continue par morceaux, alors pour tout a réel :

$\int_{a}^{a+2\pi}{f(t)}dt = \int_{0}^{2\pi}{f(t)}dt$

J'applique donc cette relation pour a=-π :

$\int_{-\pi}^{\pi}{f(t)}dt = \int_{0}^{2\pi}{f(t)}dt$

Maintenant je considère la fonction f 2π-périodique définie par f(t)=t pour $t\in ]-\pi ,\pi ]$

Celle-ci étant C1 par morceaux, la relation s'applique en théorie.

Mais, lorsque je calcule séparément $\int_{-\pi}^{\pi}{f(t)}dt$ et $\int_{0}^{2\pi}{f(t)}dt$ , j'obtiens que la première vaut 0 tandis que la seconde vaut 2π²...

Donc je ne comprends pas

Posté par re : Intégrale de fonction périodique 14-05-23 à 21:38

salut

$\int_0^{2\pi} f(t) dt = \int_0^\pi f(t)dt + \int_\pi^{2\pi} f(t)dt = \int_0^\pi f(t)dt + \int_{-\pi}^0 f(t)dt = 0$

et si tu faisais un dessin ?
que vaut f(t) sur l'intervalle [pi, 2pi] ?

Posté par re : Intégrale de fonction périodique 14-05-23 à 21:48

D'après les données, je dirais que f(t)=t-2π pour t dans ]π, 2π] avec f(π)=π et, en effet, avec un dessin je me rends compte que l'intégrale de 0 à 2π de f(t) est égale à 0.

Mais du coup, on ne peut pas la calculer "brutalement" avec les méthodes classiques ?

Posté par re : Intégrale de fonction périodique 15-05-23 à 18:56

si on peut mais il faut connaitre/déterminer l'expression de f sur l'intervalle considéré :

f(t) = t sur l'intervalle [-pi, pi] et f est 2pi-périodique <=>

pour tout entier relatif k et tout t de l'intervalle [ + k2, + (k + 1)2] = [- + k2, + k2] : f(t) = t - k2

Posté par re : Intégrale de fonction périodique 15-05-23 à 21:24

Tu peux exprimer f assez facilement en l'occurence, $f(x) = -\pi + (x+\pi) \text{ mod } 2\pi = x-2\pi\left\lfloor\dfrac{x+\pi}{2\pi}\right\rfloor$ pour tout x.

Ensuite, pour tous deux réels $a\leqslant b$ , on aura $\int_a^b f(t)dt = \int_0^{b-a} f(t+a)dt$ .
En utilisant la 2\pi-périodicité et en notant $k = \left\lfloor\dfrac{b-a}{2\pi}\right\rfloor$ , on est ramené à $\int_a^b f(t)dt = \int_{2k\pi}^{b-a} f(t+a)dt = \int_0^{b-a-2k\pi} f(t+a)dt$ .

Pour $t\in[0,b-a-2k\pi]\subseteq [0,2\pi[$ ,
$\dfrac{a+\pi}{2\pi} \leqslant \dfrac{a+t+\pi}{2\pi} \leqslant \dfrac{a+\pi}{2\pi} + \dfrac{b-a-2k\pi}{2\pi} < \dfrac{a+\pi}{2\pi}+1$ .

ce qui veut dire que
* si a+pi est multiple de 2pi, alors $\left\lfloor\dfrac{t+a+\pi}{2\pi}\right\rfloor = \left\lfloor\dfrac{a+\pi}{2\pi}\right\rfloor$ pour tout $t\in[0,b-a-2k\pi]$
* sinon, il faut rajouter 1 si $t+a+\pi\geqslant 2\pi\left\lceil\dfrac{a+\pi}{2\pi}\right\rceil$

ou en plus condensé, en notant $g : x\mapsto \left\lfloor\dfrac{x+\pi}{2\pi}\right\rfloor$ et $h : x\mapsto -(x+\pi)+2\pi\left\lceil\dfrac{x+\pi}{2\pi}\right\rceil$ ,

$f = id - 2\pi g$ et $g_{|[0,b-a-2k\pi]}(\cdot+a) = g(a) + 1_{2\pi\Z}(a+\pi)1_{[h(a),+\infty[}$

Si bien que
$\begin{array}{lcl} \\ \int_a^b f(t)dt &=& \int_0^{b-a-2k\pi} f(t+a)dt\\ \\ &=& \int_0^{b-a - 2k\pi} (t+a)dt - 2\pi\int_0^{b-a - 2k\pi} g(t+a)dt \\ &=& \dfrac{(b-2k\pi)^2-a^2}{2} - 2\pi(b-a - 2k\pi)\left[ g(a) + 1_{2\pi\Z}(a+\pi) 1_{0\leqslant h(a)\leqslant b-a - 2k\pi}\right] \\ \end{array}$

Sauf erreur de calcul, ce qui est fort possible vu les notations

Posté par re : Intégrale de fonction périodique 15-05-23 à 21:31

Oui y'a une erreur à la toute dernière ligne, où j'ai oublié un h(a).
Il faut lire $(\text{différence des carrés})/2 -2\pi( (b-a-2k\pi)g(a) + 1_{2\pi\Z}(a+\pi)(b-a-2k\pi - h(a))_+)$

Posté par re : Intégrale de fonction périodique 16-05-23 à 16:48

Merci bien à vous, je comprends maintenant

Posté par re : Intégrale de fonction périodique 16-05-23 à 18:08

de rien

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