Niveau maths spé

Intégrale de la courbure d'un lacet

Posté par
Serbiwni 28-10-21 à 20:26

Bonsoir,

On s'intéresse à trouver l'intégrale de la courbure d'une courbe C²qui est un lacet donc une courbe $\gamma : [a,b] \to \Bbb R^2$ telle que $\gamma(a)=\gamma(b)$ .
On cherche $\int_\gamma k \tex{ds}$ .

Je dis la chose suivante : comme la fonction k est continue (je crois ?), elle admet une primitive F (telle que F'=k), on a alors

$\int_\gamma k \tex{ds} = \int_a^b k(\gamma(s)) \gamma'(s) \tex{ds}= \int_a^b F'(\gamma(s)) \gamma'(s) \tex{ds} = \int_a^b (F \circ \gamma)'(s)ds=F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) =F(\gamma(b)) - F(\gamma(b))= 0$

(Il y a une chose reprochable c'est que $\int_\gamma k \tex{ds} = \int_a^b k(\gamma(s)) \lvert \gamma'(s) \rvert \tex{ds}$ avec des valeurs absolues et non pas comme j'ai fait)

Qu'en pensez-vous ?

Posté par re : Intégrale de la courbure d'un lacet 29-10-21 à 11:03

Bonjour,

J'en pense que tu devrais commencer par calculer l'exemple d'un lacet très simple : un cercle parcouru dans le sens direct (et tu pourras varier avec un cercle parcouru dans le sens indirect).

Posté par re : Intégrale de la courbure d'un lacet 29-10-21 à 11:32

Je cherche...
Quelle est la définition de la courbure : la courbure est la dériv...
Bingo !

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