Bonjour,

Il semble qu'on peut montrer que si la suite Kn=(n-1)Jn converge, alors elle converge vers 1/2 (ce qui permettra d'avoir un équivalent de Jn). Mais reste à montrer que la suite (n-1)Jn converge (je n'ai pas regardé si tel était le cas).
Pas dit que ce soit la façon la plus facile de faire.

Bon courage

Juste une remarque avant d'en venir au sujet : il est possible d'exprimer la suite J sous forme de série

Citation :
Si on pose pour tout n, on a une nouvelle suite qui suit la relation de récurrence avec une valeur initiale .

Même chose pour avec une valeur initiale et un terme au lieu de .

C'est facile de résoudre ces récurrences (sans calcul matriciel), il suffit de passer par la suite définie par .
On a alors .

Puis .

D'où enfin et .

Mais si tu connais le DL d'arctan et celui de ln(1+.), tu peux écrire aussi
et .
Deux suites extraites dont les indices recouvrent N convergent vers la même limite 0, donc J converge vers 0.

Bonjour,

Il me semble que ce qui est demandé est "un équivalent" en oo de Jn,  ce qui n'est pas la même chose que la limite de Jn pour n --> +oo

Pour moi, c'est 1/(2n)

, on a

Pas sûr que c'est cela qui est attendu.

Bonsoir,

candide2, sauf erreur il me semble que l'encadrement donné par Ulmiere permet d'encadrer Jn (appliquer 2 fois l'inégalité) et donc de trouver cet équivalent.

A partir de ce que tu as écrit ;

"J'ai commencé par montrer que Jn était décroissante, à valeurs positives et convergeait vers 0. "

On peut en déduire immédiatement que la suite des Jn est convergente  (suite décroissante et minorée par 0) et  donc que pour n --> oo , on a

Et à partir de , on a alors immédiatement que pour n --> oo,

Ça par contre c'est totalement faux !

Si tu prends u_n = exp(-n) par exemple, u est positive décroissante mais u_n/u_{n+2} = e^2 ne tend pas vers 1 donc l'équivalence que tu annonces est fausse.

Même si elle était vraie la suite est quand même fausse, on ne somme pas les équivalents comme ça (surtout en 0!)

Si une suite Un converge, on a pour n --> +oo : , soit donc  
Puisque si suite converge, la différence entre termes consécutifs tend vers 0 pour n --> +oo

Mais on n'a pas le droit d'en déduire que ce que je n'ai d'ailleurs pas fait.





  

Je pense que tu devrais réviser la définition de suites équivalentes

Le fait que tende vers 0 n'implique pas . Pour les suites qui ne s'annulent qu'en un nombre fini de points, cette dernière équivalence signifie que (ou son inverse, c'est pareil) tend vers 1.

Si tu préfères, . On sait que , mais ce n'est pas forcément un

"Pour les suites qui ne s'annulent qu'en un nombre fini de points, ... "

Alors la suite n'est pas décroissante et partout positive, me semble-t-il.

On n'est pas dans ce cas dans l'exercice proposé.

Pourquoi, 0 n'est pas un nombre fini ?