Bonsoir claire .
En fait , tout le probléme réside dans le fait sur [0;4] , le signe
de x-1 et de x-2 varie :
x-1 < 0 ( resp. >0 ) sur [0;1] ( resp. [1 ; 4])
et
x-2<0 (resp. >0 ) sur[0;2] ( resp [2 ;4] )

mais l'astuce réside dans une des propriétés de l'intégrale
, énoncé pas chasle :
( a -> c) f(x)dx =
(a ->b) f(x)dx + (b -> c)f(x)dx

Donc : si l'on pose f(x) = |x-1|+|x-2|
(0 ->4)f(x)dx =
(0 ->1)f(x)dx + (1 -> 2)f(x)dx + (2
- > 4)f(x)dx

Ce qui nous arrange bien !
donc , calculons :

(0->1)f(x)dx
= (-x +1 - x +2)dx
= [-x² + 3x](0 -> 1) = 2

(1->2) f(x)dx
= (x-1-x+2)dx
= [3x](1->2) = 3

(2->4)f(x)dx
= (x+1+x-2)dx
=[x²-3x](2->4) = 6

d'ou (0->4) |x-1|+|x-2| = 6 + 3 +2 = 11

Voila , j'espere que tu as compris la démonstration qui n'est
pas difficile si l'on connais la relation de chasle .

L'idée c'est de décomposer l'intégrale pour remplacer
   |x-1| par x-1 ou 1-x suivant le signe
   |x-2| par x-2 ou 2-x

Tu intégres de 0 à 1
Tu intégres de 1 à 2
Tu intégres de 3 à 4

Et tu ajoutes les trois résultats (relation de Chasles sur les intégrales)