Niveau Maths sup

Intégrale double

Posté par
lolo5959 03-03-05 à 09:28

Bonjour, je cherche à calculer la double intégrale suivante :

(1ère annexe)

J'ai donc calculé « l'intérieur » de la première intégrale et j'arrive à cela :

(2ème annexe)

Mon problème, c'est que je n'arrive plus à calculer cette intégrale.
J'ai essayé de différentes manières (changement de variables, IPP) mais toujours pas de solution.

Merci beaucoup pour votre aide.

Intégrale double

Posté par re : Intégrale double 03-03-05 à 09:30

Oups, j'ai oublié la 2ième annexe

Intégrale double

Posté par re : Intégrale double 03-03-05 à 10:32

La première peut s'écrire:

$\int_0^1 x\ dx .\int_{1-\sqrt{1-(x-1)^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\ y\ dy$

$=\frac{1}{2}. \int_0^1 x\ dx .[y^2]_{1-\sqrt{1-(x-1)^2}}^{\sqrt{1-x^2}}$

$=\frac{1}{2}. \int_0^1 x\ dx .[1-x^2-({1-\sqrt{1-(x-1)^2})^2]$

$=\frac{1}{2}. \int_0^1 x\ dx .[1-x^2-(1+1-(x-1)^2-2\sqrt{1-(x^2-2x+1)})]$

$=\frac{1}{2}. \int_0^1 x\ dx .[-2x + 2\sqrt{2x-x^2}]$

$= \int_0^1 [x\sqrt{2x-x^2} - x^2] dx$

Et on est ramené à l'annexe 2.
-----
Sauf distraction.

Posté par re : Intégrale double 03-03-05 à 10:37

Merci beaucoup J-P de m'aider, mais c'est justement l'intégrale de l'annexe 2 que je n'arrive pas à calculer,bien que j'aie déjà tout essayé....

Posté par re : Intégrale double 03-03-05 à 11:36

Suite:

$\int x.\sqrt{2x-x^2} dx = \int [x.\sqrt{2x-x^2} - \sqrt{2x-x^2} +  \sqrt{2x-x^2}] dx$

$\int x.\sqrt{2x-x^2} dx = \int [(x-1).\sqrt{2x-x^2} + \sqrt{2x-x^2}] dx$

a) $\int [(x-1).\sqrt{2x-x^2} dx$
Poser 2x-x² = t²
-(x-1)dx = dt

$\int [(x-1).\sqrt{2x-x^2}\ dx = -\int t^2\ dt = \frac{t^3}{3} = -\frac{\sqrt{(2x-x^3)^2}}{3}$

$\int_0^1 [(x-1).\sqrt{2x-x^2}\ dx = [-\frac{\sqrt{(2x-x^3)^2}}{3}]_0^1 = \frac{-1}{3}$
---
b)
$\int  \sqrt{2x-x^2}\ dx$

Soit le cercle de centre (1 ; 0) et de rayon 1, son équation est: y² + (x-1)² = 1
y² + x² -2x + 1 = 1
y² = 2x - x²
Le demi cercle supérieur a pour équation : $y = \sqrt{2x-x^2}$

Entre les abscisses 0 et 1, il s'agit donc d'un quart de cercle de rayon 1.
Son aire est donc (1/4)Pi.1² = Pi/4

On a donc: $\int_0^1  \sqrt{2x-x^2}\ dx = \frac{\pi}{4}$
---
c)
On a aussi $\int_0^1 x^2\ dx = \frac{x^3}{3} = \frac{1}{3}$
---
Finalement:
$\int_0^1 [x.\sqrt{2x-x^2} - x^2] dx = \frac{-1}{3} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}$

$\int_0^1 [x.\sqrt{2x-x^2} - x^2] dx = \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}$
-----
Sauf distraction.

Posté par re : Intégrale double 03-03-05 à 13:10

Un grand merci J-P je n'aurai jamais pensé à passer par là...

Bonne journée

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