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Intégrale double

Posté par
matheux14 24-01-22 à 18:45

Bonsoir,

1) Soit \text{I} = \int  \int _{D} f(x ; y) dx~ dy où D est le triangle de sommet O(0 ; 0) , A(0 ; 1) et B(1 ; 1) et f(x ; y) = x- y

a) Représenter D.

b) Calculer \text{I}

2) Soit J = \int \int _{\delta} \ln(1 + x - y) dx ~ dy avec \delta = \{ (x ; y) \in \R^2 ~:~ |x + y| \le 1 ~;~ |x - y| \le 1  \}

a) Représenter \delta

b) Calculer J.

Réponses

a)

b) \text{I} = \int\int _{D} f(x ; y) dx~ dy = \int\int _{D} (x - y) dx~ dy = \text{I} = \int^{1} _{x}\left(\int^{1}_{x} x - y  dy \right) dx = \int^{1} _{x}\left[ xy - \dfrac{y²}{2} \right]^{1}_{0} dx =\int^{1}_{0} -\dfrac{x²}{2} + x -\dfrac{1}{2} dx = -\dfrac{1}{6}

2) a)  J'ai essayé de représenter avec GeoGebra.

Mais je ne vois pas comment on pourrait faire pour le représenter à la main..

Posté par
carpediemre : Intégrale double 24-01-22 à 19:02

salut

je ne comprends pas tes bornes d'intégrales :

x varie de 0 à 1

et pour x fixé y varie de ... à ...


PS : une primitive de x - y en y est - \dfrac 1 2 (x - y)^2


2a/  |x + y| < 1 <=> -1 < x + y < 1

Posté par
matheux14re : Intégrale double 24-01-22 à 19:14

La droite (OB) a pour équation y = x

Posté par
larrechre : Intégrale double 24-01-22 à 19:20

Bonjour ,

C'est vrai que tes bornes sont bizarres. Quand tu intègres par rapport à y, les bornes sont x et 1, puis pour l'intégrale suivante en x, les bornes sont 0 et 1. Ce n'est pas ce que tu as écrit.

Posté par
matheux14re : Intégrale double 24-01-22 à 19:50

Ah oui, c'est une erreur de frappe en recopiant

Posté par
matheux14re : Intégrale double 24-01-22 à 20:19

2)

Je trouve -1 \le x \le 1 et y = 0

Posté par
carpediemre : Intégrale double 24-01-22 à 20:36

qu'est-ce que l'ensemble d'équation -1 = x + y ? et x + y = 1 ?

Posté par
Pirhore : Intégrale double 24-01-22 à 22:09

Bonsoir à tous

@larrech
je pense que c'est plutôt

Quand tu intègres par rapport à y, les bornes sont 0 et x, puis pour l'intégrale suivante en x, les bornes sont 0 et 1.

@matheux14
pour le 2 , le domaine est un carré sur pointes

Posté par
matheux14re : Intégrale double 24-01-22 à 22:18

Pirho j'ai pas compris..

Posté par
larrechre : Intégrale double 24-01-22 à 22:24

@Pirho, Bonsoir

Le triangle D est "au-dessus" de la droite y=x, donc on va de y=x  à y=1. Non ?

Posté par
larrechre : Intégrale double 24-01-22 à 22:35

@matheux14

As-tu tracé les 4 droites comme te le suggérait carpediem ?

Posté par
matheux14re : Intégrale double 24-01-22 à 22:44

Oui ;  2 droites non ?

Posté par
larrechre : Intégrale double 24-01-22 à 22:49

Oui, mais il y en a 2 autres : x-y=1 et x-y=-1

Posté par
Razesre : Intégrale double 24-01-22 à 22:52

Bonsoir,

Dans ton calcul de l'intégrale,  tu as fais comme si x,y sont indépendants dans ton espace d'intégration ce qui est faux. Car si tu dessinais ton triangle et tes axesources,  tu verrais que pour un x fixé, y varie entré deux valeurs. (Pour exemple prends x=0,5, ton y varie entre deux valeurs)

Si tu prends par exemple un domaine definit par un carre dont les cotes paralleles aux grands axes, x, y  seront indépendants et là tu peux calculer comme tu l'as fait.

Commence par dessiner et hachurer l'espace balayé lors de l'intégration pour voir.

Posté par
Pirhore : Intégrale double 24-01-22 à 22:59

larrech @ 24-01-2022 à 22:24

@Pirho, Bonsoir

Le triangle D est "au-dessus" de la droite y=x, donc on va de y=x  à y=1. Non ?


en le faisant de tête, je me suis effectivement trompé ; en  redessinant, je suis d'accord avec toi. Au temps pour moi

Posté par
matheux14re : Intégrale double 24-01-22 à 23:10

larrech @ 24-01-2022 à 22:49

Oui, mais il y en a 2 autres : x-y=1 et x-y=-1


Ok je vois ; et ensuite ?

Posté par
matheux14re : Intégrale double 24-01-22 à 23:10

Elles sont parallèles.

Posté par
lafol Moderateurre : Intégrale double 24-01-22 à 23:10

Bonsoir
pour la 2), je tenterais bien un changement u = x+y, v = x-y (pas essayé, faut voir ce que ça donne, mais ça a l'air assez jouable, non ?)

Posté par
matheux14re : Intégrale double 24-01-22 à 23:12

J'observe un carré.. Est ce que c'est son aire ?

Posté par
lafol Moderateurre : Intégrale double 24-01-22 à 23:13

Non
si on veut l'aire d'un domaine, c'est 1, qu'il faut intégrer sur ce domaine, pas x-y ou ln(1+x-y)

Posté par
matheux14re : Intégrale double 24-01-22 à 23:51

Intégrale double

Posté par
Pirhore : Intégrale double 25-01-22 à 00:18

eh bien voilà, tu as ton domaine: le carré "sur pointes"

il suffit d'écrire les équations de chaque côté du carré

Posté par
matheux14re : Intégrale double 25-01-22 à 00:51

D'accord et la dernière question ?

Posté par
Pirhore : Intégrale double 25-01-22 à 08:08

il faut calculer 2 intégrales ; une pour x variant de -1 à 0 et une pour x variant de 0 à 1

tu peux aussi utiliser la suggestion de lafol qui marche aussi mais qui te demande de calculer un Jacobien(je ne sais pas si tu as déjà étudié ça en cours)

je te laisse avec les répondants qui "étaient là" avant moi


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