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Intégrale et convergence
Bonjour,
Je bloque depuis pas mal de temps sur 2 questions d'un exercice:
Soit f une application continue et n>= 1.
On définit: fn(x)= (3n/4) 
(de 1/n à -1/n) f(x+t)*(1-n²t²)dt
1)Montrer que (3n/4) (de 1/n à -1/n) f(x)*(1-n²t²)dt =1.
Je ne vois pas on peut trouver 1 alors que la fonctrion f n'ast pas connue, de plus, cela me parait bizarre que l'on ait f(x) alors que dans la fonction fn(x), on a f(x+t)=>erreur?
J'ai donc admis ce résultat mais à la question d'après, on me demande de montrer que fn converge uniformément vers f sur tout intervalle [a,b].
Et c'est toujours le même problème qui revient: je ne connais pas f et je ne vois pas le rapport entre la valeur 1 trouvée et la convergence...
Voilà pourquoi j'ai vraiment besoin de votre aide( ça fait 2h30 que je suis sur ces 2 questions..)
MERCI
Si l'intégrale est plutôt de -1/n à 1/n (ce qui me semble probable) le signe moins disparaît. Parcontre f(x) ne peut pas disparaître donc je partage ton avis et je dis que la donnée n'est pas correcte. De plus ce résultat est plus cohérent avec la suite de l'exercice.
Isis
Merci isisstruiss, il doit donc y avoir une erreur dans l'énoncé..
Mais si on considère f(x) comme vous l'avez fait, on trouve que fn(x)=f(x).
Peut-on alors en déduire que fn(x) converge uniformément vers f(x)?
Merci encore
On n'a pas fn(x)=f(x). L'intégrale que j'ai calculé n'est pas exactement celle de la définition de fn. Mais lorsque n est grand, l'intervalle de l'intégration devient très petit, presque nul. Donc fn converge vers f. Pour la convergeance uniforme je n'ai pas d'idée tout de suite, mais il doit y avoir un théorème avec une suite de fonctions continues qui converge vers une fonction continue. Je te laisse regarder tes cours.
Isis
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