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Intégrale et éléments propres
Bonjour à tous !
Alors voila je poste cet exo , mon professeur m'a dit qu'il utilisait des théorèmes que l'on verra plus tard dans l'année (super :/) , et donc je voulais savoir si vous pouviez m'expliquer comment faire , enfin m'aider déjà à comprendre ce qu'il faut faire parce que la je suis paumé "intégralement" :/ (notamment ce que je prends pour deux variables , x et t , c'est assez perturbant ...)
Bref voilà l'exo :
E = C0([0,
/2],
)
Soit 
de E dans E telle que pour f 
E : (f)(x)=
sin(x+t)f(t)dt (intégrale de 0 à /2)
Que dire de Im() ?
Eléments propres de ?
Merci d'avance , vous m'aideriez vraiment beaucoup !
bonsoir,
*l'image d'une fonction f de E c'est g=
{
}pour
tu peux remarquer que g(x) est de la forme asin(x)+bcos(x)
** un élément propre de c'est un fonction non nulle f de E telle que
/
Euh je comprends pas trop l'intérêt de ta première étoile , je sais ce qu'est une image ...
Je crois que ce qui est important c'est surtout de dire que ca s'écrit sous la forme aSin(x) + bCos(x)...
Sinon après je sais aussi ce qu'est un vecteur propre ... Mais il faut aussi les valeurs propres !
La question est comment les trouver ..? Parce que pour une matrice c'est plutôt tranquille mais la =/
Merci.
Bonjour.
Un vecteur propre de associé à une valeur propre non nulle se trouve dans l'image de . Donc, puisque l'image de est de dimension finie, on se ramène à un problème matriciel.
Reste à étudier la valeur propre 0 ...
Mais bien sur 
Non sérieusement je suis complètement perdu ... "Se ramène à un problème matriciel" , mais là :/ ... Je sais pas du tout faire ...
On prend f(t)= a sin(t) + b cos(t)
On peut calculer explicitement (f)(t) en fonction de a,b, sin(t), cos(t)
Mais ça je pense que c'est bon , je trouve :
(f)(x) = sin(x)cos(t)f(t)dt + cos(x)sin(t)f(t)dt
Comment je vais plus loin ?
Le calcul évoqué dans le post de 20h58 n'est pas terminé. Il faut calculer explicitement les deux intégrales qui interviennent en fonction de a et b (je rappelle que f(t)=a cos(t) +b sin(t) ).
Apparemment, tu n'as pas compris mon premier post, le 6 octobre, à 19h30.
J'y précisais qu'un vecteur propre f associé à une valeur propre non nulle appartenait obligatoirement à l'image de (en effet, f=(f) appartient à l'image de , donc, en divisant par , f est dans Im()).
Donc, si f est un vecteur propre associé à une valeur propre non nulle, oui, f est une combinaison linéaire de cos et sin .
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