Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Intégrale et limite

Posté par
disz 11-08-21 à 07:49

Bonjour  voici mon énoncé :

Soit f de C1([0;1],R)
Calculer  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\int _0^x f(t)dt
puis interpreter  graphiquement


Je trouve que  c'est égale a la dérivé de f  en x . Est ce que j me trompe  ?

Posté par
diszre : Intégrale et limite 11-08-21 à 08:15

Je me trompe a  f(x)

Posté par
LeHiboure : Intégrale et limite 11-08-21 à 09:06

Bonjour,

C'est faux, le résultat ne peut pas dépendre de x.
Pour que tu aies une idée de ce qui se passe, f est continue, quand x est proche de 0, f(x) est proche de f(0).
Tu peux donc approximer l'intégrale par la surface d'un rectangle de largeur x et de hauteur f(0), donc de surface x.f(0).
Avec le 1/x devant, il te reste f(0).
Maintenant, à toi d'arriver à ce résultat avec une démonstration rigoureuse digne d'un étudiant de Math Sup

Posté par
diszre : Intégrale et limite 11-08-21 à 10:04

Ca me rassure car je trouver cela  beaucoup trop simple

Posté par
diszre : Intégrale et limite 11-08-21 à 10:11

VOila ce que j'avais fait au départ :
f étant  C1 elle est dérivable donc continue  donc  Il existe Une fonction F  primitive de f  sur [0;1]
Soit x dans [0,1]
\frac{1}{x}\int _0^x f(t) dt = \frac{1}{x} (F(x)-F(0))
or F est dérivable  en [0;1] alors
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=F'(0)= f(0)

En relisant la mon travail j'ai vu que ce matin j'ai mal recopié  ma réponse . donc cela est faux??  et pas rigoureux?

Posté par
malou Webmasterre : Intégrale et limite 11-08-21 à 10:49

Bonjour à vous deux,
Peut-on en savoir un peu plus disz, car tu as renseigné dans ton profil "enseignant-capes" et tu postes en maths sup . Quel est ton véritable profil, et ce pour connaître les outils que tu as à ta disposition ?
je te remercie

Posté par
diszre : Intégrale et limite 11-08-21 à 10:55

Bonjour Je suis enseignant  de mathématique et mon but et de retrouver  mon niveau de math.
Donc  je poste en mat  sup car j'utilise des feuilles d'exercices de niveau math sup .  et aprés math spé .  Aprés  si cela dérange  J'arrète de poster

Posté par
diszre : Intégrale et limite 11-08-21 à 11:28

malou @ 11-08-2021 à 10:49

Bonjour à vous deux,
Peut-on en savoir un peu plus disz, car tu as renseigné dans ton profil "enseignant-capes" et tu postes en maths sup . Quel est ton véritable profil, et ce pour connaître les outils que tu as à ta disposition  ?
je te remercie
Ai je répondu a vos question???

Posté par
malou Webmasterre : Intégrale et limite 11-08-21 à 12:05

non, non, cela ne dérange pas
j'hésite à te laisser capes ou à te mettre en reprise d'études supérieur, ce serait peut-être plus judicieux
bon courage pour ta remise à niveau alors

Posté par
diszre : Intégrale et limite 12-08-21 à 07:55

Ma démonstration est - elle fausse de ce fait .

Posté par
LeHiboure : Intégrale et limite 12-08-21 à 10:54

Citation :
Ma démonstration est - elle fausse de ce fait .

Ta démonstration me semble exacte, mais attendons le verdict des sachants

Posté par
jeansebre : Intégrale et limite 12-08-21 à 13:10

Bonjour

Il me semble aussi que le raisonnement est correct.

Posté par
carpediemre : Intégrale et limite 12-08-21 à 14:43

salut

l'écriture explicite \dfrac 1 x \int_0^x f(t)dt = \dfrac {\int_0^x f(t)dt - \int_0^0 f(t)dt} {x - 0} nous permet  de conclure que cette expression est le taux de variation en 0 d'une certaine fonction F.

le théorème fondamental de l'analyse (vu les hypothèses sur f) nous affirme que F est la primitive de f s'annulant en 0 ...

il reste à interpréter graphiquement ce résultat ...



REM : avec les hypothèses sur f on peut se passer de ce théorème et le montrer en utilisant l'idée de LeHibou à 9h06 et des epsilon ...

Posté par
Foxdevilre : Intégrale et limite 13-08-21 à 00:15

Bonsoir à tous,

Sinon un peu plus tiré par les cheveux : une IPP semble bien marcher

Posté par
rcompanyre : Intégrale et limite 14-08-21 à 17:06

La résolution suivante est-elle valable? L'idée est que l'on peut toujours trouver un invervalle à droite de 0 où f est monotone et de signe constant, et l'on encadre son intégrale entre 0 et x par xf(0) et x(fx)

\Large\cdot Si f^\prime (0)>0\text{ et }f(0)>0
f et f^\prime continues à droite de 0: prenons \varepsilon tel que f^\prime (0)-\varepsilon>0 et f(0)-\epsilon>0

\begin{array}{rl}\exists \eta_1>0\text{ tel que }0<x<\eta_ 1&\Rightarrow f(0)-\varepsilon<f(x)<f(0)+\varepsilon\\&\Rightarrow0<f(x)\end{array}

\begin{array}{rl}\exists \eta_2>0\text{ tel que }0<x<\eta_2&\Rightarrow f^\prime(0)-\varepsilon<f^\prime(x)<f^\prime(0)+\varepsilon\\&\Rightarrow0<f^\prime(x)\end{array}

et en prenant \eta=min(\eta_1;\eta_2) on a:

\begin{array}{rl}0<x<\eta&\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x)>0\\f^\prime (x)>0\end{array}\right.\\&\Rightarrow xf(0)\leqslant\int_0^x f(t)dt\leqslant xf(x)\\&\Rightarrow f(0)\leqslant\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt\leqslant f(x)\\&\Rightarrow\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt = f(0)\quad\text{puisque f est continue à droite de 0}\end{array}

\Large\cdot Pour les autres cas on retrouve f(0)\leqslant\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt\leqslant f(x) ou f(x)\leqslant\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt\leqslant f(0)
ce qui donne toujours \lim\limits_{x\to 0^+} \frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt = f(0)

Posté par
carpediemre : Intégrale et limite 15-08-21 à 13:46

ça me semble correct ... mais je pense que tu te compliques la vie à distinguer différents cas ..


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !