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Intégrale et suite

Posté par
Mathes1 21-05-21 à 14:07

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
• n *
On pose I_n=\begin{aligned}\int_{0}^{1}{x^n e^{x^2}}\;$d$x\end{aligned}
a) calculer I1
J'ai trouvé
I_1=\begin{aligned}\int_{0}^{1}{xe^{x^2}}\;$d$x\end{aligned}=\dfrac{e-1}{2}
( J'ai fait un changement de variable on pose t=e^{x^2})
Et j'ai changé les bornes de l'intégral
Je trouve
I_1=\begin{aligned}\int_{1}^{e}{\dfrac{1}{2}}\;$d$t\end{aligned}=\dfrac{e-1}{2}
b) vérifier que (n*) In≥0
c) à l'aide d'une intégration par parties ,
Montrer que
I_{n+2}=\dfrac{e}{2}-\frac{n+1}{2} I_n
d) En déduire la valeur de I3
e) montrer que ( n *)
In≤\dfrac{e}{n+1}
Puis en déduire que \lim_{x \to +\infty } I_n =0
S'il vous plaît une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance je ne sais pas comment faire pour la question b et c et d et e
Et merci beaucoup d'avance !

Posté par
malou Webmasterre : Intégrale et suite 21-05-21 à 14:12

Bonjour
a) changement de variable inutile, forme connue
mais I1 est juste
b) théorème de la positivité tout simplement

Posté par
Mathes1re : Intégrale et suite 21-05-21 à 14:22

Bonjour , d'accord merci beaucoup
B) puisque xne^{x^2}>0 x[0;1] et n* Et 0<1
Donc In=\begin{aligned}\int_{0}^{1}{x^n e^{x^2}}\;$d$x\end{aligned}≥0
Merci beaucoup

Posté par
malou Webmasterre : Intégrale et suite 21-05-21 à 14:36

ton produit n'est pas strictement positif mais positif ou nul
oui c'est ça

Posté par
Mathes1re : Intégrale et suite 21-05-21 à 14:43

D'accord merci beaucoup donc Pour b c'est juste
C)
In+2=\begin{aligned}\int_{0}^{1}{x^{n+1} e^{x^2}}\;$d$x\end{aligned}
Donc je calcule In-ln+2
Ou \dfrac{I_{n+2}}{I_n}
Merci beaucoup

Posté par
malou Webmasterre : Intégrale et suite 21-05-21 à 15:02

In+2 ne vaut pas ce que tu écris (erreur d'exposant)
et relis ton énoncé, on te dit comment procéder

Posté par
Mathes1re : Intégrale et suite 21-05-21 à 15:49

Bonjour
J'ai fait une intégration par parties et je trouve
I_{n+2}=\left[\right e ^{x²}\dfrac{x^{n+3}}{n+3}]_1^e -\begin{aligned}\int_{1}^{e}{\dfrac{x^{n+3}}{n+3} 2xe^{x²}}\;$d$x\end{aligned}

Posté par
malou Webmasterre : Intégrale et suite 21-05-21 à 16:25

on dirait que cela va de mal en pis...(et en plus ce ne sont pas les bonnes bornes)

peut-être un autre choix

Posté par
Mathes1re : Intégrale et suite 21-05-21 à 16:36

Désolé
I_{n+2}=\left[\right e ^{x²}\dfrac{x^{n+3}}{n+3}]_0^1 -\begin{aligned}\int_{0}^{1}{\dfrac{x^{n+3}}{n+3} 2xe^{x²}}\;$d$x\end{aligned} =e\dfrac{1}{n+3} -\dfrac{2}{n+3} \int_{0}^{1}{x^{x+4} e^{x²}} dx

Posté par
malou Webmasterre : Intégrale et suite 21-05-21 à 16:40

crois-tu vraiment qu'avec des exposants n+4, tu vas faire apparaître In

il faudrait plutôt faire baisser l'exposant, qu'en penses-tu ?

une remarque utile : xn+2=xn+1*x

Posté par
Mathes1re : Intégrale et suite 21-05-21 à 16:53

Bonjour
J'arrive pas à trouver
Une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
Pirhore : Intégrale et suite 21-05-21 à 17:16

Bonjour,

en attendant le retour de malou

fait une IPP en partant de

I_n=\begin{aligned}\int_{0}^{1}{x^{n} e^{x^2}}\;$d$x\end{aligned}

Posté par
malou Webmasterre : Intégrale et suite 21-05-21 à 17:16

I_{n+2}=\begin{aligned}\int_{0}^{1}{x^{n+2} e^{x^2}}\;$d$x\end{aligned}

I_{n+2}=\begin{aligned}\int_{0}^{1}{x^{n+1} \times x e^{x^2}}\;$d$x\end{aligned}

considérer xe^{x^2} comme une dérivée...pour faire l'IPP

edit > je n'ai pas fait le même choix que Pirho

Posté par
Pirhore : Intégrale et suite 21-05-21 à 17:19

Citation :
je n'ai pas fait le même choix que Pirho


c'est ça être spécialiste

Posté par
Mathes1re : Intégrale et suite 21-05-21 à 17:40

Bonjour
Un grand merci à vous monsieur Pirho estimé !
J'ai trouvé l'expression demandé !
In+2 =\left[\right x^{n+1} \dfrac{e^{x²}}{2}]_0^1 -\dfrac{1}{2}\begin{aligned}\int_{0}^{1}{e^{x²}(nx^n +x^n)}\;$d$x\end{aligned} =\dfrac{e}{2}-\dfrac{1}{2} I_n -\dfrac{1}{2} n I_n =\boxed{\dfrac{e}{2} - I_n\dfrac{n+1}{2}}

Posté par
Mathes1re : Intégrale et suite 21-05-21 à 18:08

Bonjour
Pour d) I_3 =\dfrac{e}{2} -\dfrac{n+1}{2} I_1 =\dfrac{e}{2} -\dfrac{n+1}{2} \left(\dfrac{e-1}{2} \right)=\dfrac{e+1}{4}-\dfrac{n(e-1)}{4}
E) on a x [0;1] : x≤1 => x2 ≤1 => e^{x²} \leq e => x^n e^{x²}≤ex^{}
=> e^{x²} \leq e => x^n e^{x²}\leq ex^{n} =>\int_{0}^{1}{x^n e^{x²}} dx \leq \int_{0}^{1} e x^n dx => I_n \leq I=\left[e\dfrac{e x^{n+1}}{n+1}]_0^1
=> In ≤\dfrac{e}{n+1}

Posté par
carpediemre : Intégrale et suite 21-05-21 à 20:04

salut

en atteandt le retour des autres ...

si n = 3 comment peut-il rester des n ?

Posté par
Pirhore : Intégrale et suite 22-05-21 à 08:22

Mathes1 @ 21-05-2021 à 17:40

Bonjour
Un grand merci à vous monsieur Pirho estimé !


de rien, mais je crois que tu pousses un peu le bouchon, pour une seule petite indication


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