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Intégrale et valeur absolue

Posté par
Nijiro 17-04-21 à 14:59

Bonjour,

Pour tout réel x, on pose: I(x)= e^x\int_{0}^{x}{\frac{t^2}{2}e^{-t}dt}

Sans calculer I(x), montrer que:
* (x+) 0\leq I(x)\leq e^x\frac{x^3}{6} (c'est fait)
* (x-) |I(x)|\leq \frac{|x|^3}{6}

C'est une partie d'un devoir, mais elle est indépendante des autres questions.
Merci d'avance.

Posté par
lakere : Intégrale et valeur absolue 17-04-21 à 15:28

Bonjour,

  

Citation :
* (x-) |I(x)|\leq \frac{|x|^3}{6}


N'y aurait-il pas une erreur quant au sens de l'inégalité ?

Posté par
Nijirore : Intégrale et valeur absolue 17-04-21 à 15:36

Non, j'ai vérifié, il n'y a pas d'erreur.

Posté par
lakere : Intégrale et valeur absolue 17-04-21 à 15:43

Ah! Je suis désolé mais il me semble bien que l'inégalité est "dans l'autre sens".
Vouloir démontrer la tienne, c'est peine perdue

Posté par
Nijirore : Intégrale et valeur absolue 17-04-21 à 15:49

Donc, peut-être une erreur d'impression?..
Essayons alors de la démontrer dans l'autre sens..

Posté par
lakere : Intégrale et valeur absolue 17-04-21 à 15:53

On peut commencer par envisager le cas x\geq 0 :

  sur [0,x],   e^{-t}\geq e^{-x} (à toi de voir le pourquoi).

Ensuite, tu peux minorer ton intégrale et I(x).

Posté par
Nijirore : Intégrale et valeur absolue 17-04-21 à 15:57

Mais x appartient à -..

Posté par
Nijirore : Intégrale et valeur absolue 17-04-21 à 15:59

Le signe ( - ) n'est, peut-être, pas visible.

Posté par
lakere : Intégrale et valeur absolue 17-04-21 à 16:13

Mince, je n'avais pas vu !  Mais je crois que le problème est le même :

Supposons  x\leq 0,  

   e^{-t}\leq {e^{-x} sur [x,0] toujours pour les mêmes raisons.

  et \begin{aligned}\int_x^0\dfrac{t^2}{2}\,e^{-t}\,\text{d}t\leq \int_x^0\dfrac{t^2}{2}\,e^{-x}\,\text{d}t\end{aligned}

d'où -I(x)\leq \dfrac{x^3}{6}

et I(x)\geq -\dfrac{x^3}{6}

   soit I(x)\geq \dfrac{|x|^3}{6} (I(x) est positive sur \mathbb{R})

Posté par
Nijirore : Intégrale et valeur absolue 17-04-21 à 16:25

C'est très clair. Merci énormément lake! ^^

Posté par
lakere : Intégrale et valeur absolue 17-04-21 à 16:30

Posté par
larrechre : Intégrale et valeur absolue 17-04-21 à 16:31

Bonjour,

Petit calcul numérique par Wolfram

I(-5)\simeq -8,49 et 5^3/6 \simeq 20,8

Mais je me suis peut-être planté dans ma saisie. ???

Posté par
lakere : Intégrale et valeur absolue 17-04-21 à 16:35

Bonjour larrech

C'est probablement moi qui me suis "planté".
Mais là, je n'ai vraiment plus le temps : il faut que je quitte

Posté par
larrechre : Intégrale et valeur absolue 17-04-21 à 16:39

Bonjour lake

Je n'ai guère le temps non plus pour l'instant, tout à l'heure peut-être.

A moins que d'ici là...

Posté par
alb12re : Intégrale et valeur absolue 17-04-21 à 16:40

salut,
erreur 3 lignes avant la fin dans la demo de lake

Posté par
Nijirore : Intégrale et valeur absolue 17-04-21 à 16:54

e^{-t}\leq e^{-x}\\ \Rightarrow \frac{t^2}{2}e^{-t}\leq \frac{t^2} {2}e^{-x}\\ \Rightarrow \int_{x}^{0}{\frac{t^2}{2}e^{-t}dt}\leq \int_{x}^{0}{\frac{t^2}{2}e^{-x}dt}\\ \Rightarrow \int_{x}^{0}{\frac{t^2}{2}e^{-t}dt}\leq e^{-x}(\frac{-x^3}{6})\\ \Rightarrow- I(x)\leq \frac{-x^3}{6}

Posté par
Nijirore : Intégrale et valeur absolue 17-04-21 à 17:01

x0I(x)0 (démonstration est simple)
Donc:
|I(x)|=-I(x) et |x3|=-x3
Par suite:
- I(x)\leq \frac{-x^3}{6}\Rightarrow |I(x)|\leq \frac{|x^3|}{6}

Posté par
alb12re : Intégrale et valeur absolue 17-04-21 à 17:02

oui à terminer
tu as une erreur d'enonce dans la premiere etoile

Posté par
alb12re : Intégrale et valeur absolue 17-04-21 à 17:03

ok je retire mon injonction "à terminer"

Posté par
Nijirore : Intégrale et valeur absolue 17-04-21 à 17:29

Merci!


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