Niveau Maths sup

intégrale f(x)=∫(ln(t)/x+t)dt

Posté par
KaleidBlood 26-06-18 à 05:25

Cela fait une heure que je me tracasse pour trouver la solution
Voici ce que j'ai essayé:
changer de l'écriture, en écrivant la fonction dans l'intégrale comme somme de fonctions que l'on saurait intégrer, ou par changement de variable, ou par passage au exponentielle.

Merci d'avance aux ames charitables

f(x)=∫(ln(t)/x+t)dt de 0 à 1. tq x>0 ( 0<t<1)
1/ Montrer que pour x> 0 t----> ln(t)/x+t est intégrable sur (0,1) puis montrer que f est de classe C1 sur (0,+inf)
2/ Montrer pour tout x>1 que f'(x)= (ln(1+x)-ln(x))/x
3/ Montrer que f(x)+f(1/x)=-1/2ln(x)^2 + f(1)

Posté par re : intégrale f(x)=∫(ln(t)/x+t)dt 26-06-18 à 08:14

Bonjour !
Tu devrais corriger ton énoncé : il y a une règle pour le parenthésage.

1. L'intégrabilité s'obtient, par la règle (à justifier) de la limite de $\sqrt t\,\ln(t)$ .
La dérivabilité sous signe intégral a des règles : les connais-tu ?
Si oui, penses à majorer la dérivée en imposant $x>a>0$ .
2. Le calcul (pour $x>0$ : 1 n'a rien à faire ici) s'obtient en faisant une intégration par parties entre $y$ et 1 (l'intégration par parties avec la borne 0 est illicite) puis passage à la limite pour $y=0$ .
3. Tu dérives l'expression et tu trouves une fonction qui a une primitive simple...

Posté par re : intégrale f(x)=∫(ln(t)/x+t)dt 26-06-18 à 10:15

Bonjour

C'est bien $\int_0^1\left(\dfrac{\ln t}{x} +t\right)\; dt$ ? (c'est exactement ce que tu as écrit)

Posté par re : intégrale f(x)=∫(ln(t)/x+t)dt 27-06-18 à 00:20

$f(x)=\int_{0}^{1}{\frac{\ln (t)}{x+t}}dt$

Désolé c'est ça

Posté par re : intégrale f(x)=∫(ln(t)/x+t)dt 27-06-18 à 00:25

luzak Merci
1) Oui c'est x>0
Non je ne sais pas les régles de la dérivabilité sous signe intégral mais je vais rechercher
2) Je m'excuse mais peux tu me donner un peu plus d'indications? je me suis perdu
Et merci d'avance

Posté par re : intégrale f(x)=∫(ln(t)/x+t)dt 27-06-18 à 00:25

KaleidBlood @ 27-06-2018 à 00:20

$f(x)=\int_{0}^{1}{\frac{\ln (t)}{x+t}}dt$

lafol

Posté par re : intégrale f(x)=∫(ln(t)/x+t)dt 27-06-18 à 07:54

Plus d'indications pour une intégration par parties ? A part te dire de dériver le "ln" ?
Attention je parle d'intégrer par parties l'intégrale figurant dans l'expression de $f'$ .

Sans dérivation sous signe intégral il faudra essayer le calcul de $\dfrac{f(x+h)-f(x)}h$ mais ce ne sera pas simple.

Posté par re : intégrale f(x)=∫(ln(t)/x+t)dt 30-06-18 à 12:02

ll est vrai que cet exercice est délicat ...

Il y a en particulier le problème de la dérivation sur   $\mathbb R_+^*= ]0,+\infty[$ de $f(x)=\int_0^1 \dfrac{\ln t}{x+t}\mathrm dt$ .

Il s'agit d'une intégrale sur un intervalle non compact (ici $]0,1[$ :   la fonction à intégrer n'est pas définie en 0  mais tout de même (pour tout $x>0$ ) continue et intégrable sur $]0,1[$ ).

$\forall x\in\mathbb R_+^*  \dfrac{\partial}{\partial x} \dfrac{\ln t}{x+t}$ $=\dfrac{-\ln t}{(x+t)^2}$ est également continue et intégrable sur $]0,1[$ mais ça ne suffit pas pour assurer que la dérivée de l'intégrale est l'intégrale de la dérivée.

On devrait en plus (cf. cours) avoir une "domination" intégrable, c'est-à-dire une fonction $g(t)$ intégrable sur $]0,1[$    vérifiant $\forall t\in ]0,1[   \forall x \in \mathbb R_+^*  \left|\dfrac{-\ln t}{(x+t)^2} \right| \leq  g(t)$ .   Hélas, c'est impossible puisqu'on aurait $g(t)\geq \dfrac{-\ln t}{t^2}$ qui n'est pas intégrable sur $]0,1[$   !

Bon. Gardons notre optimisme !  Après réflexions, on peut dire ceci:  Pour avoir la dérivabilité sur $\mathbb{R}_+^*$ il suffit d'avoir la dérivabilité sur tout intervalle $]a,+\infty[$   avec $a>0$   (puisque tout $x\in\mathbb R_+^*$ est intérieur un de ces intervalles).

On aura alors la domination $\forall t\in ]0,1[   \forall x \in ]a,+\infty[  \left|\dfrac{-\ln t}{(x+t)^2} \right| \leq \dfrac{\left|\ln t\right|}{a^2}$ qui, elle, est bien intégrable sur $]0,1[$ .

Le théorème de dérivation sous le signe intégral va donc pouvoir s'appliquer et donner la dérivée de $f(x)$ sur $]a,+\infty[$ pour tout $a\in\mathbb R_+^*$ et donc finalement pour tout $x\in\mathbb R_+^*$    $f'(x)=\int_0^1\dfrac{-\ln t}{(x+t)^2}  \mathrm dt$ .

Et on continue joyeusement avec intégration par parties (qu'on doit faire d'abord sur $\int_y^1$ et faire $y\to  0$   ensuite, vu que la fonction à intégrer n'est pas définie en   $0$   .   cf. Luzak ) ....

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