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Integrale Fn(j)

Posté par
Molotov79
04-05-19 à 13:21

Bonjour ,
je demande de l'aide pour mon exercice et je serai ravi d'en avoir , le voici :
Exercice:
On donne f(x)=\frac{x^2}{2}-ln(x)-\frac{1}{2} definie pour x>0
On pose pour tout n>2 Sn=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}{f(\frac{j}{n})}

On a pour 1jn-1 \frac{1}{n}f(\frac{j+1}{n})\leq \int_{\frac{j}{n}}^{\frac{j+1}{n}}{f(x)}dx\leq \frac{1}{n}f(\frac{j}{n})
1.Demontrer que \int_{\frac{1}{n}}^{1}{f(x)}dx\leq Sn\leq \frac{1}{n}f(\frac{1}{n})+\int_{\frac{1}{n}}^{1}{f(x)}dx
2.Montrer que limn+\frac{1}{n}f(\frac{1}{n})=0
3.Montrer que Sn est convergente et determiner sa limite
4.On rappelle que pour tout entier naturel n non nul on a legalite:
\sum_{k=1}^{n}{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
Exprimer pour tout entier naturel non nul la somme \sum_{j=1}^{n}{f(\frac{j}{n})} en fonction de n .En deduire limn+\large \frac{1}{n}ln(\frac{n^n}{n!})

Ce que j'ai fait :
je fais la somme de 1 a n j'ai ceci : \large \sum_{j=1}^{n}{\frac{1}{n}f(\frac{j+1}{n})\leq }\sum_{j=1}^{n}{\int_{\frac{j}{n}}^{\frac{j+1}{n}}{f(x)dx}}\leq Sn
or \large \sum_{1}^{n-1}\int_{\frac{j}{n}}^{\frac{j+1}{n}}{f(x)}=\int_{1}^{n}{f(x)dx}-\int_{1}^{\frac{n+1}{n}}{f(x)}dx
Puis je n'en suis pas tres sur de ce que je fais je ne sais donc comment continuer

Posté par
lake
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 14:02

Bonjour,

1) Il vaut mieux faire la somme de 1 à n-1.

Posté par
Molotov79
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 14:18

Bien le bonjour a toi lake ,
que devient la somme de l'integrale avec f(x) comme integrande alors ?

Posté par
lake
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 14:43

Voyons, avec Chasles:

\displaystyle \sum_{j=1}^{n-1}\int_{\frac{j}{n}}^{\frac{j+1}{n}}f(x)\,\text{d}x=\int_{\frac{1}{n}}^1f(x)\,\text{d}x

Posté par
Molotov79
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 14:53

Quel flair lake , j'ai ceci:
En sommant de 1 a n-1 on a :
\large \sum_{j=1}^{n-1}{\frac{1}{n}f(\frac{j+1}{n})}\leq \sum_{j=1}^{n-1}{\int_{\frac{j}{n}}^{\frac{j+1}{n}}f(x)dx\leq \sum_{j=1}^{n-1}{\frac{1}{n}}f(\frac{j}n})
or \large \sum_{j=1}^{n}{\frac{1}{n}f(\frac{j}{n})}=\sum_{j=1}^{n-1}{\frac{1}{n}}f(\frac{j}{n})+\frac{1}{n}f(1) or f(1)=0 . On a :
\large \sum_{j=1}^{n-1}{\frac{1}{n}}f(\frac{j+1}{n})\leq \int_{\frac{1}{n}}^{1}{f(x)}dx\leq Sn d'ou \large \sum_{j=1}^{n}{\frac{1}{n}f(\frac{j+1}{n})-}\sum_{j=1}^{n-1}{\frac{1}{n}}f(\frac{j}{n})\leq -Sn \int_{\frac{1}{n}}^{1}{f(x)}dx\leq 0 en telescopant la somme dans le membre de gauche puis en transposant j'ai

\large \int_{\frac{1}{n}}^{1}{f(x)dx}\leq Sn\leq\int_{\frac{1}{n}}^{1}{f(x)dx}+\frac{1}{n}f(\frac{1}{n})
CQFD

Posté par
Molotov79
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 14:57

2. limite triviale
3. Je ne sais pas montrer qu'elle converge avant d'avoir calculer la limite

Posté par
lake
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 15:01

J'aurais écrit cela un peu différemment; à partir d'ici:

  

Citation :
\large \sum_{j=1}^{n-1}{\frac{1}{n}}f(\frac{j+1}{n})\leq \int_{\frac{1}{n}}^{1}{f(x)}dx\leq Sn


\large \sum_{j=2}^{n}{\frac{1}{n}}f(\frac{j}{n})\leq \int_{\frac{1}{n}}^{1}{f(x)}dx\leq Sn avec un changement d'indice dans la première somme.

  S_n-\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{1}{n}\right)\leq \int_{\frac{1}{n}}^{1}{f(x)}dx\leq Sn

d'où l'on tire:

 \int_{\frac{1}{n}}^{1}{f(x)}dx\leq S_n\leq \int_{\frac{1}{n}}^{1}{f(x)}dx+\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{1}{n}\right)

Posté par
alb12
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 15:03


 \\ \begin{aligned}
 \\ \large \sum_{j=1}^{n-1}{\frac{1}{n}f(\frac{j+1}{n})}\leq \sum_{j=1}^{n-1}{\int_{\frac{j}{n}}^{\frac{j+1}{n}}f(x)dx\leq \sum_{j=1}^{n-1}{\frac{1}{n}}f(\frac{j}n})
 \\ \end{aligned}
 \\

Posté par
alb12
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 15:04

desole je n'interviens pas je jette un oeil sur le code

Posté par
lake
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 15:05

Citation :
3. Je ne sais pas montrer qu'elle converge avant d'avoir calculer la limite


Il faut calculer d'abord: \displaystyle \lim\limits_{n\to +\infty}\int_{\frac{1}{n}}^1f(x)\,\text{d}x

  en calculant effectivement l'intégrale (recherche d'une primitive) et en passant à la limite ensuite.

Puis appliquer les gendarmes pour S_n qui donnent la convergence et la limite pratiquement en même temps.

Posté par
alb12
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 15:08

voilà comment je l'ecrirais, sans porter de jugement sur la veracite


 \\ \begin{aligned}
 \\  \sum_{j=1}^{n-1}{\frac{1}{n}f\left(\frac{j+1}{n}\right)}\leqslant \sum_{j=1}^{n-1}{\int_{\frac{j}{n}}^{\frac{j+1}{n}}f(x)\mathrm{d}x\leqslant \sum_{j=1}^{n-1}{\frac{1}{n}}f\left(\frac{j}n}\right)
 \\ \end{aligned}
 \\

Posté par
lake
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 15:12

Bonjour alb12,

C'est vrai que c'est plus joli
Je rajoute toujours une espace avant le \text{d}x

Posté par
Molotov79
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 15:16

Ah alors ma methode est valable
la limite est 2/3

Posté par
Molotov79
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 15:34

4. en exprimant j'ai obtenu ceci \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-ln(n!)-\frac{1}{2}
puis limn+=limn+ln(n)-\frac{ln(n!)}{n}
or -\frac{ln(n!)}{n}=Sn+\frac{1}{2n}-\frac{(n+1)(2n+1)}{12}
d'ou la limite donne -

Posté par
Molotov79
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 15:35

Molotov79 @ 04-05-2019 à 15:34

4. en exprimant la somme j'ai ceci j'ai obtenu ceci \frac{n(n+1)(2n+1)}{<font class='rouge'>12</font>}-ln(n!)-\frac{1}{2}
puis limn+=limn+ln(n)-\frac{ln(n!)}{n}
or -\frac{ln(n!)}{n}=Sn+\frac{1}{2n}-\frac{(n+1)(2n+1)}{12}
d'ou la limite donne -

Posté par
lake
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 16:04

Citation :
la limite est 2/3


oui.

Mais la suite, non.

  \begin{aligned}S_n=\dfrac{1}{n}\,\sum_{j=1}^nf\left(\dfrac{j}{n}\right)=\dfrac{1}{n}\,\sum_{j=1}^n\left(\dfrac{j^2}{2n^2}-\ln\left(\dfrac{j}{n}\right)-\dfrac{1}{2}\right)
 \\ 
 \\  S_n=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{12n^2}+\dfrac{1}{n}\,\ln\left(\dfrac{n^n}{n!}\right)-\dfrac{1}{2}
 \\ 
 \\ \end{aligned}

Tu passes à la limite ensuite.

Posté par
Molotov79
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 16:36

pourquoi 1/2 fait pas partie de la somme car pour moi il devait y avoir n/2

Posté par
lake
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 16:41

\begin{aligned}\sum_{j=1}^n\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{n}{2}
 \\ 
 \\ \dfrac{1}{n}\,\sum_{j=1}^n\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}
 \\ 
 \\ \end{aligned}

Posté par
Molotov79
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 16:42

Ah je vois mieux , alors en passant a la limite j'ai 1

Posté par
lake
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 16:42

Mais oui!

Posté par
Molotov79
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 16:44

Enfin , grace a toi , je te remercie d'avoir consacre ton temps a m'expliquer (je met pas d'accent car je tape sur un clavier qwerty )

Posté par
lake
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 16:45

De rien Molotov79

Posté par
alb12
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 17:07

Molotov79 @ 04-05-2019 à 16:44

Enfin , grace a toi , je te remercie d'avoir consacre ton temps a m'expliquer (je met pas d'accent car je tape sur un clavier qwerty )

ton clavier n'a pas le "s" ?

Posté par
Molotov79
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 18:15

Pardon alb12 ?

Posté par
alb12
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 18:20

je met pas (au moins 2 fautes)

je rectifie mon code en ajoutant l'espace


 \\ \begin{aligned}
 \\  \sum_{j=1}^{n-1}{\frac{1}{n}f\left(\frac{j+1}{n}\right)}\leqslant \sum_{j=1}^{n-1}{\int_{\frac{j}{n}}^{\frac{j+1}{n}}f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant \sum_{j=1}^{n-1}{\frac{1}{n}}f\left(\frac{j}n}\right)
 \\ \end{aligned}
 \\

Posté par
Molotov79
re : Integrale Fn(j) 04-05-19 à 18:50

pas de mon habitude , merci



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