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Intégrale impropre

Posté par
txxx 20-06-21 à 20:33

Bonjour à tous. Je rencontre un problème avec un exercice et je sollicite votre aide.
L'énoncé :
Soit  f, \psi \in C(\R, \R) tel que \psi tend vers 2021 en -\infty, et quelque soit t \in \R, f(t)=\psi (t+2020\sqrt2) - \psi (t+2021\sqrt3). On suppose que l'intégrale \int_{0}^{+\infty}{\psi(x) dx} existe. Étudier la nature de l'intégrale \int_{0}^{+\infty}{f(t) dt}
, puis calculer sa valeur lorsqu'elle convergente.

J'ai supposé que l'existence de l'intégrale voulais dire qu'elle convergeait. Dans ce cas, il est évident que \int_{0}^{+\infty}{f(t) dt} converge car \psi converge en -\infty.
Pour la valeur, en séparant l'intégrale
de -\infty  à  0 et de 0 à +\infty  et en posant les changements de variable T=t+2021\sqrt3 et
T=t+2020\sqrt2 , je trouve 0 ce qui me semble incorrect.

Posté par
carpediemre : Intégrale impropre 21-06-21 à 08:51

salut

il y a certainement une erreur d'énoncé : pourquoi parler de la imite de en -oo alors que les intégrales portent sur [0, +oo[ ...

Posté par
txxxre : Intégrale impropre 21-06-21 à 10:07

En effet.
C'est plutôt : Etudier  la nature de l'intégrale \int _{-\infty} ^{+\infty}{f(t) dt}.
Vraiment désolé

Posté par
larrechre : Intégrale impropre 21-06-21 à 10:08

Bonjour,

A moins qu'il ne s'agisse d'étudier l'existence de \int_{-\infty}^{+\infty}{\psi(x) dx}

Posté par
larrechre : Intégrale impropre 21-06-21 à 10:14

J'ai cliqué par inadvertance sur le mauvais bouton, je voulais dire f et effacer pour demander  si toutes les hypothèses sur les fonctions étaient bien retranscrites.

Posté par
larrechre : Intégrale impropre 21-06-21 à 10:41

J'ajoute que ce n'est pas parce que a une limite finie en - que la convergence de l'intégrale est assurée.
Ce qui est clair c'est que f tend vers 0 quand t-, mais encore faut-il  en évaluer un équivalent.

Posté par
txxxre : Intégrale impropre 21-06-21 à 15:45

Ah oui, en effet. Mais comment trouver un équivalent sans l'expression de \psi

Posté par
jandri Correcteurre : Intégrale impropre 22-06-21 à 21:00

Bonjour,

ce qui est clair c'est que pour tout réel a l'intégrale \int_{a}^{+\infty}\psi(x) dx existe.
On en déduit que pour tout réel a l'intégrale \int_{a}^{+\infty}f(x) dx existe.
Il reste à utiliser la relation de Chasles pour exprimer cette intégrale comme une intégrale de la fonction \psi puis à faire tendre a vers -\infty.

Posté par
luzakre : Intégrale impropre 23-06-21 à 10:27

Pour x,y réels on a :
\int_x^yf=\int_x^y\psi(t+a)\rm{d}t-\int_x^y\psi(t+b)\rm{d}t
=\int_{x+a}^{y+a}\psi-\int_{x+b}^{y+b}\psi=\int_{x+a}^{x+b}\psi-\int_{y+a}^{y+b}\psi
\int_{x+a}^{x+b}\psi=\int_{x+a}^{x+b}(\psi(t)-\ell)\rm{d}t+\ell(b-a)

Pour x assez petit on majore \Bigl\lvert\int_{x+a}^{x+b}(\psi(t)-\ell)\rm{d}t\Bigr\rvert par \varepsilon|b-a| d'où la limite pour x=-\infty de \int_{x+a}^{x+b}\psi .
La convergence de \int_0^{+\infty}\psi permet d'avoir la limite pour y=+\infty de \int_{y+a}^{y+b}\psi

Posté par
txxxre : Intégrale impropre 29-06-21 à 17:10

Merci beaucoup, il est donc prouver que l'intégrale converge,  cependant je ne vois toujours pas pour le calcul de la valeur

Posté par
jandri Correcteurre : Intégrale impropre 29-06-21 à 19:01

Il est prouvé que l'intégrale converge.

Pour le calcul, luzak a presque donné la réponse :
puisque l'intégrale \int_0^{+\infty}\psi converge, il est facile d'obtenir la limite de \int_{y+a}^{y+b}\psi quand y tend vers +\infty .


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