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Integrale serie

Posté par
FerreSucre 19-02-21 à 17:23

Bonsoir, j'ai aperçu dans un livre une intégrale avec un exercice bien détaillé.
Mais je me demandais si celle ci pouvais être calculable, j'avais déjà fait à peu près la même mais en approuvant un calcul , celui ci :

\dfrac{x^n}{1+x} = x^n( \sum_{k = 0}^{+\infty} (-1)^kx^k))

Si je ne fais pas d'erreur ^^. Et donc je me demandais comment retrouver cette série. Je pense qu'avec les séries de taylor c'est envisageable ?. Mais bon autrement c'est jouable ?

Merci ^^ ça ressemble au somme de terme d'une suite géométrique je sais mais je vois pas de transformation qui nous arrangerait ici...

Posté par
carpediemre : Integrale serie 19-02-21 à 18:57

salut

\dfrac {x^n} {1 + x} = x^n \dfrac {1 - (-x)^p} {1 - (-x)} + x^n \dfrac {(-x)^p} {1 + x}

en supposant |x| < 1 il suffit de faire tendre p vers l'infini ...

et si tu veux mieux voir tu mets p + 1 à la place de p ...

Posté par
FerreSucrere : Integrale serie 20-02-21 à 00:00

Hmm d'accord je vois le principe parcontre le dernier membre de ton équation, on retombe sur le même problème on peut faire ça ? :
On a :

I = \dfrac{x^n}{1+x}

I = x^n \sum_{i=0}^{+\infty}(-1)^ix^i + (-x)^pI

I = \lim_{p \to +\infty} \dfrac{x^n \sum_{i=0}^{+\infty}(-1)^ix^i}{1-(-x)^p}

Et comme |x| < 1
On a :

I = x^n \sum_{i=0}^{+\infty}(-1)^ix^i

C'est à peu près ça le principe ? ^^
Merci

Posté par
Zormuchere : Integrale serie 20-02-21 à 00:49

Bonjour

Sinon : \dfrac{1}{1+x}~=~\dfrac{1}{1-(-x)}~=~\sum_{k=0}^{+\infty}(-x)^k~=~\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^kx^k  quand  |x|<1  tout simplement, non ?

Posté par
FerreSucrere : Integrale serie 20-02-21 à 11:12

Ouais sinon je me demandais :

\dfrac{1}{1+x} = \lim_{p \to +\infty}\dfrac{1-(-x)^p}{1-(-x)}

Car |x| < 1.  (Plus simple ?)
D'ailleurs si on veut faire l'intégrale de 0 à 1 de ça on peut l'utiliser cette serie ? Comme x < 1 ?

Posté par
carpediemre : Integrale serie 20-02-21 à 11:38

il est clair que le numérateur x^n n'intervient pas ...

Zormuche : oui mais la démonstration nécessite un passage à la limite !!

pour tout p et tout x tel que |x| < 1

\dfrac 1 {1 + x} = \dfrac {1 - (-x)^{p + 1}} {1 - (-x)} + \dfrac {(-x)^{p + 1}} {1 + x} = \sum_0^p (-x)^p + \dfrac 1 {x + 1} (-x)^{p + 1}


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