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Intégrale sin(t)cos(2nt)

Posté par
flo128 10-10-11 à 21:51

Bonsoir,

J'ai un petit problème, impossible de résoudre l'intégrale suivant:

0 sin(t)cos(2nt)dt

J'ai essayé IPP changement de variable... Je ne sais pas trop quoi faire et je pense que je fais des erreurs... Alors si quelqu'un pourrait me guider ça serait super !

Merci d'avance et bonne soirée !

Posté par
dagware : Intégrale sin(t)cos(2nt) 10-10-11 à 21:59

Bonsoir,

tu peux remarquer que 2sin(a)cos(b)=sin(a+b)+sin(a-b).

Posté par
flo128re : Intégrale sin(t)cos(2nt) 10-10-11 à 22:00

Oui j'ai bien pensé à ça mais ça conduit à des calculs longs... Il n'y a pas plus court? Merci de ta réponse !!

Posté par
dagware : Intégrale sin(t)cos(2nt) 10-10-11 à 22:11

Je ne trouve pas que primitiver sin((2n+1)t) et sin((1-2n)t) soit réellement long. Sinon tu peux regarder du côté des exponentielles.

Posté par
flo128re : Intégrale sin(t)cos(2nt) 10-10-11 à 22:14

C'est sur, tu as peut-être raison, c'est que notre prof nous balance le résultat comme ça et j'ai pas le temps de faire les calculs...
Sinon tu propose en exponentielle? En passant les sinus et les cosinus en (eit-e-it)/2i et (ei2nt+e-2nit)/2
C'est une bonne idée tu as raison !
Merci beaucoup du coup de main.

Posté par
perroquetre : Intégrale sin(t)cos(2nt) 10-10-11 à 23:13

Citation :
C'est sur, tu as peut-être raison, c'est que notre prof nous balance le résultat comme ça et j'ai pas le temps de faire les calculs...


Il faut pourtant les faire, ces calculs, parce que ton prof ne sera pas là pour les faire à ta place le jour du concours ou de l'examen.
Pour ce calcul particulier, ce n'est pas une bonne idée de passer en exponentielle, parce qu'au lieu de deux calculs de primitives, il y en aura 4, avec des termes complexes (pas des termes compliqués, mais des éléments de C).

Posté par
raz29re : Intégrale sin(t)cos(2nt) 28-03-21 à 16:48

Bonjour,

J'ai le même sujet que flo128, au lieu d'ouvrir un nouveau sujet je continu sur celui-là.

Sujet :
Soit n un entier naturel, In=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{sin(t)cos(2nt) dt}

Prouver que In=\frac{1}{1-4n²}

Réponse:
Je sais que 2sin(a)cos(b)=sin(a+b)+sin(a-b)
donc
In=\int_{0}^{\frac{\pi }{}2}{\frac{2}{2}sin(t)cos(2nt)dt}
In=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{2sin(t)cos(2nt)dt}
In=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{sin(t+2nt)+sin(t-2nt)}
In=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{sin(t(2n+1))+sin(t(1-2n))}

Primitive de sin((2n+1)t) je trouve -\frac{cos((2n+1)t)}{2n+1}

Et pour sin((1-2n)t) je trouve \frac{cos((2n-1)t)}{2n-1}

Est-ce-que mes primitives sont bonnes ? j'ai un doute car quand je calcule l'intégrale je ne retombe pas sur ce que je dois prouver.

Merci pour vos réponses

Posté par
Pirhore : Intégrale sin(t)cos(2nt) 28-03-21 à 17:59

Bonjour,

Citation :
Est-ce-que mes primitives sont bonnes ? j'ai un doute car quand je calcule l'intégrale je ne retombe pas sur ce que je dois prouver.

et tu trouves In=?

Posté par
raz29re : Intégrale sin(t)cos(2nt) 28-03-21 à 18:46

In=\frac{1}{2}[\frac{-cos((2n+1)t)}{2n+1}+\frac{cos((2n-1)t))}{2n-1}]
In=\frac{1}{2}[\frac{(-cos((2n+1)t))(2n-1)+(cos((2n-1)t))(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)}]
In=\frac{1}{2}[\frac{(-cos((2n+1)t))(2n-1)+(cos((2n-1)t))(2n+1)}{4n²-1}]
In=\frac{1}{2}[\frac{(-cos(2nt+t))(2n-1)+(cos(2nt-t))(2n+1)}{4n²-1}]
In=\frac{1}{2}[\frac{((-cos(2nt))-cos(t))(2n-1)+((cos(2nt))-cos(t))(2n+1)}{4n²-1}]
In=\frac{1}{2}[\frac{(-cos(2nt))(2n)+cos(2nt)-cos(t)(2n)+cos(t))+(cos(2nt))(2n)+cos(2nt)-cos(t)(2n)-cos(t))}{4n²-1}]
avec bornes pi/2;0
In=\frac{1}{2}[\frac{(cos(2n\frac{\pi }{2}))²+((cos(\frac{\pi }{2}))(2n))²}{4n²-1}]-[\frac{(cos(2n0))²+((cos(0))(2n))²}{4n²-1}]
In=\frac{1}{2}[\frac{cos(n\pi )²-1+2n²}{4n²-1}]
In=\frac{cos(n\pi )²-1+2n²}{8n²-2}

Posté par
Pirhore : Intégrale sin(t)cos(2nt) 28-03-21 à 19:12

remarques:

1°) tes bornes sont inversées c'est entre 0 et pi/2

2°) tu devrais trouver I_n=\dfrac{1-2\,n\,sin(n\,\pi)}{1-4\,n^2}

pour retrouver "ton In", il manque une donnée importante que tu n'as pas fournie

Posté par
raz29re : Intégrale sin(t)cos(2nt) 28-03-21 à 19:47

pour ton point n°2 je pense savoir comment retrouver mon "In"
n étant un entier naturel sin(n)=0

pour ton point un mêmes en inversant les bornes,

\int_{a}^{b}{f(x)} en -\int_{b}^{a}{f(x)} je ne tombe pas sur ton  résultat.

En tout cas merci pour ton aide, je vais continuer à travailler dessus.

Posté par
Pirhore : Intégrale sin(t)cos(2nt) 28-03-21 à 19:59

revérifie tes calculs car la réponse du In est juste

Posté par
lafol Moderateurre : Intégrale sin(t)cos(2nt) 28-03-21 à 22:49

Bonjour
tes copains te surnomment "shadock", non ?
parce que dans le genre "pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué", ton post de 18h46 est un modèle !
franchement, quel intérêt de tout remettre a même dénominateur et tout et tout AVANT de remplacer t par ses valeurs ?

Posté par
matheuxmatoure : Intégrale sin(t)cos(2nt) 29-03-21 à 11:13

bonjour

oui, quel chantier !

il serait bon de savoir, en math spé, que le cosinus d'un multiple impair de /2 est nul et que cos(0) = 1


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