Bonsoir à tous !

Je bloque sur une question du problème suivant :

Pour n un entier naturel, on s'intéresse à l'intégrale :

1. Déterminer la naturel de
(j'ai bien réussi cette question)
2.Montrer que la série converge et préciser la valeur de
(j'ai aussi bien réussi cette question)
3. Pour , démontrer l'égalité :
(j'ai très bien réussi cette question)
4. Montrer que, pour tout , on a : . Avec un petit changement d'indice k=k+n, le résultat était facile à trouver.
5. En déduire que, pour tout réel x positif, on a :

Je travaille encore sur cette question, je sais qu'il faut utiliser le fait que pour tout x réel. J'avais pensé à faire un changement de variable, en posant u = (2n+1)x, mais peut-être que cette idée n'est pas fructuante.
6. Montrer que, pour tout , l'intégrale converge, puis justifier que l'on peut écrire :

Je n'ai pas encore regardé cette question, mais j'imagine qu'il faut "combiner" les résultats précédents.

Voilà, merci pour vos retours !